2桁の正の整数があり、その整数は各位の数の和の4倍に等しい。また、十の位と一の位の数を入れ替えてできる2桁の整数は、元の整数の2倍より9だけ小さい。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数があり、その整数は各位の数の和の4倍に等しい。また、十の位と一の位の数を入れ替えてできる2桁の整数は、元の整数の2倍より9だけ小さい。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位を$x$、一の位を$y$とおくと、元の整数は$10x+y$と表せる。

各位の数の和の4倍に等しいことから、

$10x+y = 4(x+y)$

$10x+y = 4x+4y$

$6x = 3y$

$2x = y$ ...(1)

また、十の位と一の位を入れ替えてできる2桁の整数は$10y+x$と表せる。

これは元の整数の2倍より9だけ小さいことから、

$10y+x = 2(10x+y) - 9$

$10y+x = 20x+2y - 9$

$8y - 19x = -9$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$8(2x) - 19x = -9$

$16x - 19x = -9$

$-3x = -9$

$x = 3$

(1)に$x=3$を代入すると、

$y = 2(3) = 6$

よって、元の整数は$10x+y = 10(3)+6 = 36$である。

3. 最終的な答え

36