$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。 (1) $f^{-1}(T_1)$ を求めよ。 (2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ただし、$(f^{-1}(T_1))^c$ は $f^{-1}(T_1)$ の $\mathbb{Z}$ における補集合を表す。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。

(1) $f^{-1}(T_1)$ を求めよ。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ただし、$(f^{-1}(T_1))^c$ は $f^{-1}(T_1)$ の $\mathbb{Z}$ における補集合を表す。

2. 解き方の手順

(1) $f^{-1}(T_1)$ を求める。$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1\}$ であるから、$f(x) = x^2$ を代入すると、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ となる。$x$ は整数であるから、$x^2 > 8$ を満たす $x$ は $x \geq 3$ または $x \leq -3$ である。したがって、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \geq 3 \text{ or } x \leq -3\}$ となる。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求める。これは $f^{-1}(T_1)$ の $\mathbb{Z}$ における補集合であるから、$\mathbb{Z} \setminus f^{-1}(T_1)$ を求める。$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \geq 3 \text{ or } x \leq -3\}$ であるから、$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3\}$ となる。つまり、$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 2\}$ である。したがって、$(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 正解: $f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq -3 \text{ or } x \geq 3\}$

その理由: $f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ であり、整数 $x$ に対して $x^2 > 8$ となるのは $x \leq -3$ または $x \geq 3$ のときであるから。

(2) 正解: $(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

その理由: $(f^{-1}(T_1))^c = \mathbb{Z} \setminus f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 2\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ であるから。