$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定め、 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8 \}$ とする。このとき、$f^{-1}(T_1^c)$ を求める。ここで、$T_1^c$ は $T_1$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定め、 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8 \}$ とする。このとき、$f^{-1}(T_1^c)$ を求める。ここで、$T_1^c$ は $T_1$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、$T_1$ の補集合 $T_1^c$ を求める。

$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ なので、$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\}$ である。

$x^2 \leq 8$ を満たす整数 $x$ は、$x = -2, -1, 0, 1, 2$であるから、

$T_1^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となる。

次に、$f^{-1}(T_1^c)$ を求める。

$f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1^c \} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1^c \}$

$T_1^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ なので、$x^2$ が $-2, -1, 0, 1, 2$ のいずれかになるような整数 $x$ を探す。

$x^2$ は常に非負の整数なので、 $x^2$ は $0, 1, 2$ のいずれかになる必要がある。

$x^2 = 0$ となるのは $x=0$ のときである。

$x^2 = 1$ となるのは $x=1, -1$ のときである。

$x^2 = 2$ となる整数 $x$ は存在しない。

したがって、$f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1\}$ となる。

理由：

$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} | x^2 \leq 8 \}$ であるから、$T_1^c = \{-2, -1, 0, 1, 2 \}$ となる。

$f^{-1}(T_1^c) = \{ x \in \mathbb{Z} | f(x) \in T_1^c \} = \{ x \in \mathbb{Z} | x^2 \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \}$ である。

$x^2$ は非負整数であるから、$x^2$ の候補は $0, 1, 2$ に絞られる。

$x^2 = 0$ を満たすのは $x=0$ のときであり、$x^2 = 1$ を満たすのは $x= \pm 1$ のときである。$x^2 = 2$ を満たす整数 $x$ は存在しない。

したがって、$f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1 \}$ となる。

3. 最終的な答え

正解：$f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1\}$

その理由：上記参照