$x = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$、 $y = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき、$x^2 - y^2$の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$、 $y = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき、$x^2 - y^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x$の分母と分子に$\sqrt{5}-1$をかけます。

$$x = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$

$y$の分母と分子に$\sqrt{5}+1$をかけます。

$$y = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$

次に、$x^2 - y^2$ を計算します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$を利用します。

$$x+y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x-y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$$

したがって、

$$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 3 \times (-\sqrt{5}) = -3\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

$x^2 - y^2 = -3\sqrt{5}$