定積分 $\int_{1}^{4} (x^3 - x^2 + x + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (x^3 - x^2 + x + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $x^3 - x^2 + x + 1$ の不定積分を計算します。

項別に積分すると、

$$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$$

$$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$$

$$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$$

$$\int 1 dx = x + C$$

したがって、不定積分は

$$\int (x^3 - x^2 + x + 1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$$

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限の値を不定積分に代入して差を計算します。

$$\left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x\right]_{1}^{4} = \left(\frac{4^4}{4} - \frac{4^3}{3} + \frac{4^2}{2} + 4\right) - \left(\frac{1^4}{4} - \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1\right)$$

$$= \left(\frac{256}{4} - \frac{64}{3} + \frac{16}{2} + 4\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1\right)$$

$$= \left(64 - \frac{64}{3} + 8 + 4\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1\right)$$

$$= \left(76 - \frac{64}{3}\right) - \left(\frac{3 - 4 + 6 + 12}{12}\right)$$

$$= \left(\frac{228 - 64}{3}\right) - \left(\frac{17}{12}\right)$$

$$= \frac{164}{3} - \frac{17}{12}$$

$$= \frac{656 - 17}{12} = \frac{639}{12} = \frac{213}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{213}{4}$