台形ABCDにおいて、$AD // BC$, $AB = AD$, $AD : BC = 1 : 2$ である。また、Eは$\angle BAD$の二等分線と対角線BDとの交点である。台形ABCDの面積が72cm²のとき、$\triangle EBC$の面積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AD // BC$, $AB = AD$, $AD : BC = 1 : 2$ である。また、Eは$\angle BAD$の二等分線と対角線BDとの交点である。台形ABCDの面積が72cm²のとき、$\triangle EBC$の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$と$\triangle BCD$の面積比を求める。$AD // BC$より、高さが等しいので、面積比は底辺の比に等しい。したがって、

$\triangle ABD : \triangle BCD = AD : BC = 1 : 2$

台形ABCDの面積は72cm²なので、

$\triangle ABD = 72 \times \frac{1}{1+2} = 72 \times \frac{1}{3} = 24 \text{ cm}^2$

$\triangle BCD = 72 \times \frac{2}{1+2} = 72 \times \frac{2}{3} = 48 \text{ cm}^2$

次に、$\triangle ABE$と$\triangle ADE$の面積比を求める。AEは$\angle BAD$の二等分線なので、

$\angle BAE = \angle DAE$

$AB = AD$より、$\triangle ABD$は二等辺三角形である。

$\triangle ABE : \triangle ADE = BE : DE$

$\triangle ABD$において、AEは$\angle BAD$の二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$BE : DE = AB : AD$

$AB=AD$なので、$BE : DE = 1 : 1$となる。したがって、

$\triangle ABE = \triangle ADE = \frac{1}{2} \triangle ABD = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \text{ cm}^2$

次に、$\triangle ABE$と$\triangle BCE$の面積比を求める。$\triangle ABE$と$\triangle BCE$は高さが同じなので、面積比は底辺の比に等しい。

$\triangle ABE : \triangle BCE = AE : EC$

ここで、$AD // BC$より、$\triangle ADE \sim \triangle CBE$である。したがって、

$AD : BC = DE : BE = AE : CE$

$AD : BC = 1 : 2$なので、$AE : CE = 1 : 2$となる。したがって、

$\triangle BCE = 2 \times \triangle ABE = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}^2$

3. 最終的な答え

$\triangle EBC$の面積は24cm²なので、答えはウである。