問題は、放物線 $y=x^2$ (曲線①) と $y=ax^2$ (曲線②、ただし $0<a<1$) が与えられ、曲線①上の点A, Bのx座標がそれぞれ-1, 2、点Cは原点と点Aを通る直線と曲線②の交点であり、そのx座標が-3である。 (1) 2点A, Bを通る直線の式を求める。 (2) $a$の値を求める。 (3) y軸上の正の部分に点Pをとり、三角形OABと三角形OPBの面積が等しいときの点Pのy座標を求める。

1. 問題の内容

問題は、放物線 $y=x^2$ (曲線①) と $y=ax^2$ (曲線②、ただし $0<a<1$) が与えられ、曲線①上の点A, Bのx座標がそれぞれ-1, 2、点Cは原点と点Aを通る直線と曲線②の交点であり、そのx座標が-3である。

(1) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

(2) $a$の値を求める。

(3) y軸上の正の部分に点Pをとり、三角形OABと三角形OPBの面積が等しいときの点Pのy座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。Aは曲線①上にあるので、Aの座標は$(-1, (-1)^2) = (-1, 1)$。同様にBの座標は$(2, 2^2) = (2, 4)$。

直線ABの式を$y=mx+n$とおく。

点A, Bの座標を代入すると、

$1 = -m+n$

$4 = 2m+n$

この連立方程式を解く。下の式から上の式を引くと$3 = 3m$となり、$m=1$。

$1 = -1+n$より、$n=2$。

したがって、直線ABの式は$y=x+2$。

(2) 直線OAの式を求める。直線OAは原点を通るので、$y=kx$とおける。Aの座標$(-1, 1)$を代入すると、$1 = -k$より、$k=-1$。したがって、直線OAの式は$y=-x$。

点Cは直線OAと曲線②の交点なので、Cの座標は$y=-x$かつ$y=ax^2$を満たす。

Cのx座標は-3なので、直線OA上のy座標は$y=-(-3)=3$。

Cは曲線②上にあるので、$3 = a(-3)^2 = 9a$。

したがって、$a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

(3) OABの面積を計算する。A(-1, 1), B(2, 4), O(0, 0)なので、三角形の面積は

$\frac{1}{2} |(-1) \times 4 - 1 \times 2| = \frac{1}{2} |-4 - 2| = \frac{1}{2} \times 6 = 3$。

Pの座標を(0, p)とおく。OPBの面積は$\frac{1}{2} |0 \times 4 - p \times 2| = \frac{1}{2} | -2p | = p$。

OABとOPBの面積が等しいので、$p=3$。

3. 最終的な答え

(1) $y=x+2$

(2) $a = \frac{1}{3}$

(3) 3