問題文は、直角三角形の辺の長さの関係に関する会話文であり、それに基づいていくつかの質問に答えるものです。 (1) ア、イ に当てはまる自然数を求めます。 (2) 1つの辺の長さが15である直角三角形の他の2辺の長さを求めます。 (3) $a^2 = b+c$ かつ $a^2+b^2=c^2$ が成り立つことを証明する穴埋め問題を解きます。

1. 問題の内容

問題文は、直角三角形の辺の長さの関係に関する会話文であり、それに基づいていくつかの質問に答えるものです。

(1) ア、イ に当てはまる自然数を求めます。

(2) 1つの辺の長さが15である直角三角形の他の2辺の長さを求めます。

(3) $a^2 = b+c$ かつ $a^2+b^2=c^2$ が成り立つことを証明する穴埋め問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 会話文から、a=7の場合について考えます。$a^2 = b+c$であり、$b$と$c$は連続する自然数なので、$b < c$ であることから $c = b+1$ となります。したがって、$7^2 = 49 = b + (b+1) = 2b + 1$ となります。これを解くと、$2b = 48$ より $b = 24$ となり、$c = b+1 = 25$ となります。よって、アには24が、イには25が入ります。

(2) 1つの辺の長さが15の直角三角形について、$15^2 = b+c$ となる連続する自然数 $b$, $c$ を求めます。$225 = b+c$ で、$c = b+1$ なので、$225 = b + (b+1) = 2b + 1$ となります。これを解くと、$2b = 224$ より $b = 112$ となり、$c = 113$ となります。

したがって、他の2辺の長さは112と113です。

(3) 証明の穴埋め問題です。

$a^2 = b+c$ で、$c$を$b$を使って表すと、$c = b+1$ となります。したがって、$a^2+b^2 = (b+c)+b^2 = b+(b+1)+b^2 = b^2+2b+1 = (b+1)^2 = c^2$ が示されます。

したがって、ウには $b+1$ 、エには $b^2+2b+1$ 、オには $b+1$ が入ります。

3. 最終的な答え

(1) ア：24、イ：25

(2) 112, 113

(3) ウ：$b+1$、エ：$b^2+2b+1$、オ：$b+1$