問題は、$a = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{a}{2} + \frac{2}{a}$ と $a^2 + \frac{a^2}{4}$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$a = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{a}{2} + \frac{2}{a}$ と $a^2 + \frac{a^2}{4}$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) の計算:

まず、$\frac{a}{2} + \frac{2}{a}$ を計算します。$a = 2 - \sqrt{2}$ を代入すると、

$$\frac{a}{2} + \frac{2}{a} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 - \sqrt{2}}$$

となります。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{2}{2 - \sqrt{2}}$ は有理化します。分子と分母に $2 + \sqrt{2}$ を掛けると、

$$\frac{2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$$

したがって、

$$\frac{a}{2} + \frac{2}{a} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 + \sqrt{2} = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(イ) の計算:

次に、$a^2 + \frac{a^2}{4}$ を計算します。$a = 2 - \sqrt{2}$ を代入すると、

$$a^2 = (2 - \sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$$

$$\frac{a^2}{4} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{4} = \frac{3}{2} - \sqrt{2}$$

したがって、

$$a^2 + \frac{a^2}{4} = 6 - 4\sqrt{2} + \frac{3}{2} - \sqrt{2} = \frac{12}{2} + \frac{3}{2} - 5\sqrt{2} = \frac{15}{2} - 5\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(イ) $a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{15}{2} - 5\sqrt{2}$