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与えられた5つの式を因数分解する問題です。 (1) $4x^3 - 5x^2y - 6xy^2$ (2) $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 + 2ac - 2bd$ (3) $2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6$ (4) $x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z$ (5) $x^6 + 7x^3 - 8$

代数学因数分解多項式式の展開
2025/4/6
はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの式を因数分解する問題です。
(1) 4x3−5x2y−6xy24x^3 - 5x^2y - 6xy^2
(2) a2−b2+c2−d2+2ac−2bda^2 - b^2 + c^2 - d^2 + 2ac - 2bd
(3) 2x2+xy−6y2+4x−13y−62x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6
(4) x2y+x2z−xy2−y2zx^2y + x^2z - xy^2 - y^2z
(5) x6+7x3−8x^6 + 7x^3 - 8

2. 解き方の手順

(1)
まず、xxをくくり出すことができます。
4x3−5x2y−6xy2=x(4x2−5xy−6y2)4x^3 - 5x^2y - 6xy^2 = x(4x^2 - 5xy - 6y^2)
次に、4x2−5xy−6y24x^2 - 5xy - 6y^2を因数分解します。
4x2−5xy−6y2=(4x+3y)(x−2y)4x^2 - 5xy - 6y^2 = (4x + 3y)(x - 2y)
したがって、
4x3−5x2y−6xy2=x(4x+3y)(x−2y)4x^3 - 5x^2y - 6xy^2 = x(4x + 3y)(x - 2y)
(2)
a2−b2+c2−d2+2ac−2bda^2 - b^2 + c^2 - d^2 + 2ac - 2bd を整理すると
(a2+2ac+c2)−(b2+2bd+d2)=(a+c)2−(b+d)2(a^2 + 2ac + c^2) - (b^2 + 2bd + d^2) = (a+c)^2 - (b+d)^2
これは差の平方の形なので、A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)を使って因数分解すると
(a+c)2−(b+d)2=(a+c+b+d)(a+c−b−d)=(a+b+c+d)(a−b+c−d)(a+c)^2 - (b+d)^2 = (a+c+b+d)(a+c-b-d) = (a+b+c+d)(a-b+c-d)
(3)
2x2+xy−6y2+4x−13y−62x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6 を因数分解します。
まず、2x2+xy−6y22x^2 + xy - 6y^2を因数分解すると、(2x−3y)(x+2y)(2x - 3y)(x + 2y)となります。
したがって、2x2+xy−6y2+4x−13y−6=(2x−3y+A)(x+2y+B)2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6 = (2x - 3y + A)(x + 2y + B) の形になると予想できます。
(2x−3y+A)(x+2y+B)=2x2+4xy+2Bx−3xy−6y2−3By+Ax+2Ay+AB(2x - 3y + A)(x + 2y + B) = 2x^2 + 4xy + 2Bx - 3xy - 6y^2 - 3By + Ax + 2Ay + AB
=2x2+xy−6y2+(2B+A)x+(2A−3B)y+AB= 2x^2 + xy - 6y^2 + (2B+A)x + (2A - 3B)y + AB
係数を比較して、2B+A=42B + A = 4、2A−3B=−132A - 3B = -13、AB=−6AB = -6
2B+A=42B + A = 4より、A=4−2BA = 4 - 2B
これを2A−3B=−132A - 3B = -13に代入すると、2(4−2B)−3B=−132(4 - 2B) - 3B = -13
8−4B−3B=−138 - 4B - 3B = -13
−7B=−21-7B = -21
B=3B = 3
したがって、A=4−2(3)=4−6=−2A = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2
AB=(−2)(3)=−6AB = (-2)(3) = -6なので、条件を満たします。
したがって、2x2+xy−6y2+4x−13y−6=(2x−3y−2)(x+2y+3)2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6 = (2x - 3y - 2)(x + 2y + 3)
(4)
x2y+x2z−xy2−y2z=x2(y+z)−y2(x+z)x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z = x^2(y+z) - y^2(x+z)
=x2(y+z)−y2(x+z)=x^2(y+z) - y^2(x+z)
=x2y+x2z−xy2−y2z=x2(y+z)−y2(x+z)= x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z = x^2(y+z) - y^2(x+z)
=x2y−xy2+x2z−y2z=xy(x−y)+z(x2−y2)=xy(x−y)+z(x+y)(x−y)= x^2y - xy^2 + x^2z - y^2z = xy(x-y) + z(x^2 - y^2) = xy(x-y) + z(x+y)(x-y)
=(x−y)[xy+z(x+y)]=(x−y)(xy+xz+yz)= (x-y)[xy + z(x+y)] = (x-y)(xy + xz + yz)
(5)
x6+7x3−8x^6 + 7x^3 - 8
x3=Ax^3 = Aとおくと、A2+7A−8A^2 + 7A - 8
A2+7A−8=(A+8)(A−1)A^2 + 7A - 8 = (A + 8)(A - 1)
A=x3A = x^3を代入すると
(x3+8)(x3−1)(x^3 + 8)(x^3 - 1)
x3+8=(x+2)(x2−2x+4)x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
したがって、x6+7x3−8=(x+2)(x2−2x+4)(x−1)(x2+x+1)=(x−1)(x+2)(x2+x+1)(x2−2x+4)x^6 + 7x^3 - 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-1)(x^2 + x + 1) = (x-1)(x+2)(x^2 + x + 1)(x^2 - 2x + 4)

3. 最終的な答え

(1) x(4x+3y)(x−2y)x(4x+3y)(x-2y)
(2) (a+b+c+d)(a−b+c−d)(a+b+c+d)(a-b+c-d)
(3) (2x−3y−2)(x+2y+3)(2x - 3y - 2)(x + 2y + 3)
(4) (x−y)(xy+xz+yz)(x-y)(xy+xz+yz)
(5) (x−1)(x+2)(x2+x+1)(x2−2x+4)(x-1)(x+2)(x^2+x+1)(x^2-2x+4)

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