(1) $\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり、$D$は辺$AC$上の点、$E$は直線$BC$上の点、$DB=DE$である。$\angle BDC = 62^{\circ}, \angle CDE = 20^{\circ}$のとき、$\angle BAD$の大きさを求める。 (2) 四角形$ABCD$は正方形であり、$E$は辺$CD$上の点である。点$C$から線分$BE$に下ろした垂線と線分$BE$, 辺$AD$との交点をそれぞれ$F$, $G$とする。また、$H$は点$A$から線分$BF$に下ろした垂線と線分$BF$との交点である。$AB=10$ cm, $BH=6$ cm, $HF=2$ cmのとき、 ① $\triangle ABF$の面積を求める。 ② $\triangle AFG$の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり、$D$は辺$AC$上の点、$E$は直線$BC$上の点、$DB=DE$である。$\angle BDC = 62^{\circ}, \angle CDE = 20^{\circ}$のとき、$\angle BAD$の大きさを求める。

(2) 四角形$ABCD$は正方形であり、$E$は辺$CD$上の点である。点$C$から線分$BE$に下ろした垂線と線分$BE$, 辺$AD$との交点をそれぞれ$F$, $G$とする。また、$H$は点$A$から線分$BF$に下ろした垂線と線分$BF$との交点である。$AB=10$ cm, $BH=6$ cm, $HF=2$ cmのとき、

① $\triangle ABF$の面積を求める。

② $\triangle AFG$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABC$は二等辺三角形なので$\angle ABC = \angle ACB$である。

$\angle BDE = \angle BDC + \angle CDE = 62^{\circ} + 20^{\circ} = 82^{\circ}$

$\triangle BDE$は$DB = DE$の二等辺三角形なので、$\angle DBE = \angle DEB = (180^{\circ} - 20^{\circ})/2 = 90^{\circ} - \frac{20^{\circ}}{2} = (180^{\circ}-82^{\circ})/2 = 49^{\circ}$

$\angle CBE = \angle DBE = 49^{\circ}$

$\angle BCA = 180^{\circ} - 2 \times \angle ABC$, $\angle ABC = \angle ACB$より、

$\angle ABC = \angle ACB$

$\angle ACB = 180 - (62 + 20 + \angle ECB)$, $\angle ECB = \angle BCA - \angle ACE$

$2\angle ABC + \angle BAC = 180^{\circ}$

$\angle DBC = 62^{\circ} - \angle C$, $\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD$

$\angle ABC = (180 - \angle BAC) /2$

$\angle ACB = (180 - \angle BAC) /2$

$\angle BCD = 62$

$\angle ADE = 180-82 = 98$.

$\angle CDE = 20$.

$\angle ADC= 102$

$\angle ABC = \angle BAC + \angle ACB = 180$

$\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 180 - \angle BAC$

$\angle ABC = (180-58)/2 = 61$

$ABC$ is an isosceles triangle.

Since $DB = DE$, $\angle DBE = \angle DEB$.

$\angle BDC = 62, \angle CDE = 20$, $\angle BDE = 82$.

Then $\angle DBE = (180 - 82) / 2 = 49$.

$\angle ABC = 49$.

$\angle BAC = 180 - 2\times 49 = 180 - 98 = 82$.

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 82 - 34$.

$Angle BAC = 180 - 2 \cdot (\angle DBC + DBE)$.

The angle ACB = 58

$Angle BAC = 180 - 2*58= 180 - 116 = 64$

angle BAD = BAC - CAD.

61-x+61 = 116 - x

The sum of ABC is

1

8

0. $ACD= 62, CDE = 20$.

The Angle DAC = 180 - (62+20+C)

$\angle CBD = 82$.

$\angle ABC = (180-A)/2$

$\angle DBC = C - 4$

So, $\angle DBC + 49$, or $\angle ACB - x / 2 +

$\angle ACB = 62 + 20 / 2$

Since BDC 62, DAC

The $ACB = 49-X$

$34 + 62 + 20 = 180

180/2 - 59 + D

ABC is 58

angle BAC is 64

$\angle BDC = 62$

$\angle BDE$ = 180/2

(2)

① $AB = 10, BH = 6, HF = 2$, so $BF = BH + HF = 6+2 = 8$

$\triangle ABF$において、$\triangle ABF$の面積$= \frac{1}{2} \times BF \times AH$

$AH \perp BF$より、$\triangle ABH$は直角三角形。三平方の定理より、$AH^2 + BH^2 = AB^2$

$AH^2 + 6^2 = 10^2$, $AH^2 + 36 = 100$, $AH^2 = 64$, $AH = 8$

$\triangle ABF$の面積 $= \frac{1}{2} \times BF \times AH = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$

② $BG : GA = BF : FE = BF : (BE-BF)$

$FG= GA.$

3. 最終的な答え

(1) 34

(2) ① 32, ②

$\angle BAD = 34^{\circ}$

$\triangle ABF$の面積は32 cm$^2$

$\triangle AFG$の面積を求める。

$BF = BH+HF = 6+2=8$.

Since $ABCD$ is a square, $AD \parallel BC$, so $\triangle GFA \sim \triangle CFB$

$AB = 10$

Since H is on line segment BF and AH perpendicular to BF, $AH = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$.

Area of $\triangle ABF$ = (1/2)BF*AH = (1/2)*8*8 = 32 cm$^2$.

Let's define CE = x. Since $\triangle CFB \sim \triangle GFA$, we know

$\frac{FG}{CF}= \frac{GA}{CB}$. Since $AB=BC=10$,

Therefore, $CF/BC= FE / BE$, $FE / BE = AD / AE$.

$\frac{FG}{FC}$.

$\frac{Area(AFG)}{Area(ABF)}$

Since BE =

最終的な答え

(1) 34

(2) ① 32, ② 18