長さ8cmの線分AB上に点Cをとる。AC, CBを一辺とする2つの正方形を作る。ACの長さを $x$ cmとするとき、この2つの正方形の面積の和 $y$ cm$^2$の最小値を求めなさい。

以下に、問題の解説と解答を示します。

1. 問題の内容

長さ8cmの線分AB上に点Cをとる。AC, CBを一辺とする2つの正方形を作る。ACの長さを $x$ cmとするとき、この2つの正方形の面積の和 $y$ cm$^2$の最小値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、CBの長さを$x$を用いて表します。ABの長さは8cmなので、CBの長さは$(8-x)$cmとなります。

次に、2つの正方形の面積の和$y$を$x$を用いて表します。ACを一辺とする正方形の面積は$x^2$で、CBを一辺とする正方形の面積は$(8-x)^2$です。したがって、面積の和$y$は次の式で表されます。

$y = x^2 + (8-x)^2$

これを展開して整理します。

$y = x^2 + 64 - 16x + x^2$

$y = 2x^2 - 16x + 64$

次に、$y$を最小にする$x$の値を求めます。$y$は$x$の2次関数なので、平方完成することによって最小値を求められます。

$y = 2(x^2 - 8x) + 64$

$y = 2(x^2 - 8x + 16 - 16) + 64$

$y = 2((x - 4)^2 - 16) + 64$

$y = 2(x - 4)^2 - 32 + 64$

$y = 2(x - 4)^2 + 32$

$x$の範囲を考えます。$x$は線分ACの長さなので、$0 < x < 8$となります。

$y$は$x=4$のとき最小値32をとります。このとき、$0 < 4 < 8$を満たすので、$x=4$は定義域内の値です。

3. 最終的な答え

したがって、2つの正方形の面積の和の最小値は32 cm$^2$です。