(2) 初項250, 公差-8である等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$S_n$が最大となるのは、$n$がいくつのときか。 (3) 初項が3, 第6項が96の等比数列の第4項はいくつか。 (4) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = n^2 + 2n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) のとき、$a_n$を求めよ。 (5) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots + \frac{1}{9\cdot10}$を計算せよ。

1. 問題の内容

(2) 初項250, 公差-8である等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$S_n$が最大となるのは、$n$がいくつのときか。

(3) 初項が3, 第6項が96の等比数列の第4項はいくつか。

(4) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = n^2 + 2n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) のとき、$a_n$を求めよ。

(5) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots + \frac{1}{9\cdot10}$を計算せよ。

2. 解き方の手順

(2)

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

初項が250, 公差が-8であるから、$a_n = 250 + (n-1)(-8) = 250 - 8n + 8 = 258 - 8n$となる。

$S_n$が最大となるのは、$a_n \ge 0$ かつ $a_{n+1} < 0$ となる$n$である。

$a_n \ge 0$より、$258 - 8n \ge 0$なので、$8n \le 258$、$n \le \frac{258}{8} = 32.25$となる。

$a_{n+1} < 0$より、$258 - 8(n+1) < 0$なので、$258 - 8n - 8 < 0$、$250 < 8n$、$n > \frac{250}{8} = 31.25$となる。

よって、$31.25 < n \le 32.25$を満たす整数$n$は$n=32$である。

(3)

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。

初項が3, 第6項が96であるから、$a_6 = 3r^5 = 96$となる。

$r^5 = \frac{96}{3} = 32 = 2^5$より、$r = 2$となる。

よって、第4項は $a_4 = 3(2^{4-1}) = 3(2^3) = 3(8) = 24$となる。

(4)

$S_n = n^2 + 2n$であるから、

$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$となる。

$n \ge 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = (n^2 + 2n) - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) = n^2 + 2n - (n^2 - 1) = 2n + 1$となる。

$n=1$のとき、$a_1 = 2(1) + 1 = 3$となり、これは$a_1 = 3$と一致する。

よって、$a_n = 2n+1$ ($n \ge 1$)となる。

(5)

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$であるから、

$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots + \frac{1}{9\cdot10} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$となる。

3. 最終的な答え

(2) 32

(3) 24

(4) $a_n = 2n+1$

(5) $\frac{9}{10}$