等比数列の和に関する問題です。 $2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1) - 4$ がなぜ成り立つのかを説明します。

1. 問題の内容

等比数列の和に関する問題です。

$2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1) - 4$

がなぜ成り立つのかを説明します。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を確認します。初項 $a$、公比 $r$ ($r \neq 1$)、項数 $n+1$ の等比数列の和 $S$ は次のようになります。

$S = a \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$

今回の問題では、初項 $a = 1$、公比 $r = 2$、項数 $n+1$ の等比数列の和を考えています。したがって、

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = \frac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{n+1}}{-1} = 2^{n+1} - 1$

これを元の式の左辺に代入すると、

$2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1)$

元の式の右辺は、

$2(2^{n+1} - 1) - 4$

これは左辺を展開した式から4を引いたものです。

$2(2^{n+1}-1) = 2 \cdot 2^{n+1} - 2 = 2^{n+2} - 2$

$2(2^{n+1}-1) - 4 = 2^{n+2} - 2 - 4 = 2^{n+2} - 6$

左辺は $2(2^{n+1} - 1) = 2^{n+2} - 2$であり、右辺は $2(2^{n+1} - 1) - 4 = 2^{n+2} - 6$ です。

したがって、与えられた式は正しくありません。

しかし、問題文で確認したように $2(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1)$は正しいです。

問題の意図としては、$2(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1)$を導くことを期待していると思われます。

3. 最終的な答え

$2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1)$ が成り立つ。