与えられた不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ について、次の2つの問いに答えます。 (1) この不等式が解をもたないときの、$a$ の値の範囲を求めます。 (2) $1 \le x \le 2$ を満たすすべての $x$ に対して、この不等式が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ について、次の2つの問いに答えます。

(1) この不等式が解をもたないときの、$a$ の値の範囲を求めます。

(2) $1 \le x \le 2$ を満たすすべての $x$ に対して、この不等式が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ が解をもたない条件は、$x^2 + (a-1)x + 4 \ge 0$ がすべての $x$ について成り立つことです。

これは、二次関数 $f(x) = x^2 + (a-1)x + 4$ のグラフが常に $x$ 軸の上側にあるか、接する場合に対応します。

したがって、判別式 $D$ が $D \le 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = a^2 - 2a + 1 - 16 = a^2 - 2a - 15$

$D \le 0$ より、

$a^2 - 2a - 15 \le 0$

$(a-5)(a+3) \le 0$

したがって、 $-3 \le a \le 5$

(2) $1 \le x \le 2$ を満たすすべての $x$ に対して $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ が成り立つ条件を求めます。

$f(x) = x^2 + (a-1)x + 4$ とおくと、$f(x) < 0$ が $1 \le x \le 2$ で常に成り立つ必要があります。

つまり、$f(1) < 0$ かつ $f(2) < 0$ である必要があります。

$f(1) = 1 + (a-1) + 4 = a + 4 < 0$ より、$a < -4$

$f(2) = 4 + 2(a-1) + 4 = 4 + 2a - 2 + 4 = 2a + 6 < 0$ より、$2a < -6$ なので、$a < -3$

$f(1) < 0$ と $f(2) < 0$ を同時に満たすのは $a < -4$ です。

ただし、判別式が正で、かつ $1 \le x \le 2$ の範囲に解を持つ可能性も考慮する必要があります。

しかし、$a < -4$ であれば、$f(1) < 0$ かつ $f(2) < 0$ より、$1 \le x \le 2$ の範囲で常に $f(x) < 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-3 \le a \le 5$

(2) $a < -4$