兄は家から3km離れた駅まで一定の速さで歩き、弟は兄と同時に駅を出て、時速4kmで家まで歩きます。兄が家を出発してから $x$ 分後の家からの道のりを $y$ kmとしたときのグラフが与えられています。 (1) 弟が駅を出てから $x$ 分後の家までの道のりを $y$ kmとするとき、$x$ と $y$ の関係を表すグラフを書き入れます。 (2) 兄と弟が出会うのは、2人が出発してから何分後かを求めます。

1. 問題の内容

兄は家から3km離れた駅まで一定の速さで歩き、弟は兄と同時に駅を出て、時速4kmで家まで歩きます。兄が家を出発してから $x$ 分後の家からの道のりを $y$ kmとしたときのグラフが与えられています。

(1) 弟が駅を出てから $x$ 分後の家までの道のりを $y$ kmとするとき、$x$ と $y$ の関係を表すグラフを書き入れます。

(2) 兄と弟が出会うのは、2人が出発してから何分後かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 弟のグラフについて

弟は時速4kmで家に向かいます。グラフは家からの距離 $y$ を表すので、弟が駅を出発した時点では家から3km離れています。

弟の速さを分速に変換します。

$4 \text{ km/h} = 4000 \text{ m/h} = \frac{4000}{60} \text{ m/min} = \frac{200}{3} \text{ m/min} = \frac{2}{3} \text{ km/min}$

弟が家に到着するまでの時間 $t$ を求めます。

$3 \text{ km} = \frac{2}{3} \text{ km/min} \times t \text{ min}$

$t = \frac{3}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ min}$

$4.5$分後に家に到着するという事は問題文から考えるとありえません。問題文より兄と同じ道を通るとあるので、兄と弟は同じ道のりを往復します。弟のグラフは $x=0$ のとき $y=3$ であり、$x = \frac{3 \text{ km}}{\frac{2}{3} \text{ km/min}} = \frac{9}{2} \times 1 = 4.5$ 分後に $y=0$ となる直線です。しかしグラフを見ると30分以上かかっているので考え方を変更します。

兄が3kmの道のりを30分で歩いているので、兄の分速は $\frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ km/分です。

弟の分速は $\frac{4}{60} = \frac{1}{15}$ km/分です。

兄のグラフは $y=\frac{1}{10}x$ で表されます。

弟のグラフは $y = 3 - \frac{2}{30}x = 3 - \frac{1}{15}x$ で表されます。

2人のグラフが交わる点を探します。

$\frac{1}{10}x = 3 - \frac{1}{15}x$

$\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = 3$

$\frac{3}{30}x + \frac{2}{30}x = 3$

$\frac{5}{30}x = 3$

$\frac{1}{6}x = 3$

$x = 18$

したがって、弟のグラフは $(0,3)$ から $(45, 0)$ に向かう直線になります。

グラフは省略。

(2) 兄と弟が出会う時間について

2人のグラフが交わるのは18分後であることがわかりました。

3. 最終的な答え

(1) 弟のグラフ：省略

(2) 18分後