数列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ は公差 $d \neq 0$ の等差数列である。その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列になっている。$d = 7a_1$ であるとき、$n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ は公差 $d \neq 0$ の等差数列である。その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列になっている。$d = 7a_1$ であるとき、$n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列なので、$a_2 = a_1 + d$、$a_3 = a_1 + 2d$ と表せる。

$d = 7a_1$ を代入すると、

$a_2 = a_1 + 7a_1 = 8a_1$

$a_3 = a_1 + 2(7a_1) = a_1 + 14a_1 = 15a_1$

$a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列なので、公比を $r$ とすると、$a_2 = a_1 r$、$a_3 = a_1 r^2$、$a_n = a_1 r^{n-1}$ と表せる。

$a_2 = 8a_1$ より、$a_1 r = 8a_1$ なので、$r = 8$ ($a_1 \neq 0$ より)。

$a_3 = 15a_1$ より、$a_1 r^2 = 15a_1$ なので、$r^2 = 15$。

しかし、$r = 8$ より、$r^2 = 64$ なので、$r^2 = 15$ と矛盾する。

問題文に誤りがある可能性があります。$a_1, a_2, a_4, a_n$が等比数列であると仮定して解きます。

$a_1, a_2, a_4, a_n$ が等比数列をなすとき、$a_2 = a_1 + d = a_1 + 7a_1 = 8a_1$, $a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 3(7a_1) = a_1 + 21a_1 = 22a_1$ である。

公比 $r$ は $a_2 = a_1 r$ より、$8a_1 = a_1 r$ なので、$r = 8$。

$a_4 = a_1 r^2$ より、$22a_1 = a_1 (8)^2 = 64a_1$。

$a_1, a_2, a_3, a_n$ ではなく $a_1, a_2, a_4, a_n$ が等比数列であるという仮定も誤りのようです。

問題文が誤っている可能性があります。

$a_1, a_2, a_3, a_n$の順で等比数列をなすので、$a_1$, $a_1+7a_1=8a_1$, $a_1+14a_1=15a_1$, $a_n$である。

等比数列なので，$a_1, 8a_1, 15a_1$は連続する項とはならない。

問題文が間違っている。

もし $a_1, a_2, a_n$ が等比数列であれば、$a_1, a_1+d, a_1+(n-1)d$ は等比数列なので、$a_1, 8a_1, a_1 + (n-1)7a_1$ となり、$8a_1 / a_1 = a_n / 8a_1$ となる。

$8 = a_n / 8a_1$

$64 a_1 = a_n$

$a_n = a_1 + (n-1)d = a_1 + (n-1)7a_1 = a_1 + 7na_1 - 7a_1 = (7n-6)a_1$

$64 a_1 = (7n-6)a_1$

$64 = 7n - 6$

$70 = 7n$

$n = 10$

3. 最終的な答え

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