数列 $a_1, a_2, a_3, ...$ は公差 $d$ ($d \neq 0$) の等差数列であり、その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列になっているとき、$d = 7a_1$ であり、$n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_1, a_2, a_3, ...$ は公差 $d$ ($d \neq 0$) の等差数列であり、その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列になっているとき、$d = 7a_1$ であり、$n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_k = a_1 + (k-1)d$ と表せます。

$a_1, a_2, a_3, a_n$ が等比数列なので、

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

等比数列の性質から、

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_n}{a_3}$

$\frac{a_1 + d}{a_1} = \frac{a_1 + 2d}{a_1 + d} = \frac{a_1 + (n-1)d}{a_1 + 2d}$

まず $\frac{a_1 + d}{a_1} = \frac{a_1 + 2d}{a_1 + d}$ について考えます。

$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 2d)$

$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 2a_1d$

$d^2 = 0$

しかし、$d \neq 0$ より、これは条件を満たしません。

問題文に $d=7a_1$ とあるので、これを代入します。

$a_2 = a_1 + 7a_1 = 8a_1$

$a_3 = a_1 + 2(7a_1) = a_1 + 14a_1 = 15a_1$

等比数列なので

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$

$\frac{8a_1}{a_1} = \frac{15a_1}{8a_1}$

$8 = \frac{15}{8}$

これは成り立ちません。

$\frac{a_1 + d}{a_1} = \frac{a_n}{a_3}$を利用します。

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_n}{a_3}$

$\frac{8a_1}{a_1} = \frac{a_n}{15a_1}$

$8 = \frac{a_n}{15a_1}$

$a_n = 8 \times 15a_1 = 120a_1$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$120a_1 = a_1 + (n-1)(7a_1)$

$120a_1 = a_1 + 7(n-1)a_1$

$120 = 1 + 7(n-1)$

$119 = 7(n-1)$

$17 = n-1$

$n = 18$

3. 最終的な答え

18