12 (1) $ \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+4} = \frac{9x}{(x-2)(x+4)} $ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める問題。 12 (2) $ \frac{ax}{x+1} + \frac{2b}{x-3} = \frac{4x^2+12}{(x+1)(x-3)} $ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める問題。

1. 問題の内容

12 (1) $\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+4} = \frac{9x}{(x-2)(x+4)}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める問題。

12 (2) $\frac{ax}{x+1} + \frac{2b}{x-3} = \frac{4x^2+12}{(x+1)(x-3)}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める問題。

2. 解き方の手順

12 (1) まず、与えられた等式の両辺に $(x-2)(x+4)$ を掛ける。

$a(x+4) + b(x-2) = 9x$

$ax + 4a + bx - 2b = 9x$

$(a+b)x + (4a-2b) = 9x$

これが $x$ についての恒等式となるためには、各係数が等しくなければならない。

$a+b = 9$

$4a-2b = 0$

第2式より $2a = b$。これを第1式に代入すると

$a+2a = 9$

$3a = 9$

$a = 3$

$b = 2a = 6$

12 (2) まず、与えられた等式の両辺に $(x+1)(x-3)$ を掛ける。

$ax(x-3) + 2b(x+1) = 4x^2+12$

$ax^2 - 3ax + 2bx + 2b = 4x^2+12$

$ax^2 + (-3a+2b)x + 2b = 4x^2+12$

これが $x$ についての恒等式となるためには、各係数が等しくなければならない。

$a = 4$

$-3a+2b = 0$

$2b = 12$

第1式より $a = 4$。

第3式より $b = 6$。

$-3a + 2b = -3(4) + 2(6) = -12+12 = 0$ なので、矛盾はない。

3. 最終的な答え

12 (1) $a=3, b=6$

12 (2) $a=4, b=6$