数列 $a_1, a_2, a_3, ...$ は公差 $d (\neq 0)$ の等差数列であり、その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列になっている。このとき、$d = \boxed{ア} a_1$ であり、$n = \boxed{イ}$ である。アとイを求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_1, a_2, a_3, ...$ は公差 $d (\neq 0)$ の等差数列であり、その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列になっている。このとき、$d = \boxed{ア} a_1$ であり、$n = \boxed{イ}$ である。アとイを求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $a_1, a_2, a_3, a_n$ は等差数列なので、$a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$ と表せる。

また、$a_1, a_2, a_3, a_n$ は等比数列なので、

$a_2^2 = a_1 a_3$ が成り立つ。

$a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$ を代入すると、

$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 2d)$

$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 2a_1d$

$d^2 = 0$

しかし、$d \neq 0$ なので、これはありえない。

問題文をよく見ると、$a_1, a_2, a_5, a_n$は等比数列になっていると解釈できます。

数列 $a_1, a_2, a_5, a_n$ は等差数列なので、$a_2 = a_1 + d$, $a_5 = a_1 + 4d$ と表せる。

また、$a_1, a_2, a_5, a_n$ は等比数列なので、

$a_2^2 = a_1 a_5$ が成り立つ。

$a_2 = a_1 + d$, $a_5 = a_1 + 4d$ を代入すると、

$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 4d)$

$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 4a_1d$

$d^2 - 2a_1d = 0$

$d(d - 2a_1) = 0$

$d \neq 0$ なので、$d = 2a_1$

したがって、アは2となる。

また、$a_1, a_2, a_5, a_n$ は等比数列なので、公比を $r$ とすると、

$a_2 = a_1 r$, $a_5 = a_1 r^2$, $a_n = a_1 r^3$

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 2a_1 = 3a_1$

よって $r = 3$

$a_5 = a_1 + 4d = a_1 + 4(2a_1) = 9a_1$

$a_n = a_1 r^3 = a_1 (3^3) = 27a_1$

$a_n = a_1 + (n-1)d = a_1 + (n-1)(2a_1) = a_1(1 + 2n - 2) = a_1(2n-1)$

したがって、$27a_1 = a_1(2n-1)$

$27 = 2n - 1$

$2n = 28$

$n = 14$

したがって、イは14となる。

3. 最終的な答え

$d = 2a_1$, $n = 14$