$\frac{x}{x-2} \times \frac{1}{x^2-x}$ を計算します。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

まずは問題9(1)から順番に解いていきましょう。

**問題9(1)**

1. 問題の内容

$\frac{x}{x-2} \times \frac{1}{x^2-x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母の $x^2-x$ を因数分解します。

$x^2 - x = x(x-1)$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{x}{x-2} \times \frac{1}{x(x-1)}$

次に、約分できる項を探します。分子の $x$ と分母の $x$ が約分できます。

$\frac{1}{x-2} \times \frac{1}{x-1}$

最後に、残った項を掛け合わせます。

$\frac{1}{(x-2)(x-1)}$

$\frac{1}{x^2-3x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x^2-3x+2}$

**問題9(2)**

1. 問題の内容

$\frac{2x^2+8x}{x^2-x-2} \times \frac{x^2-4}{x+4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの多項式を因数分解します。

$2x^2+8x = 2x(x+4)$

$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{2x(x+4)}{(x-2)(x+1)} \times \frac{(x-2)(x+2)}{x+4}$

次に、約分できる項を探します。$(x+4)$ と $(x-2)$ が約分できます。

$\frac{2x}{(x+1)} \times (x+2)$

最後に、残った項を掛け合わせます。

$\frac{2x(x+2)}{x+1}$

$\frac{2x^2+4x}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x^2+4x}{x+1}$

**問題9(3)**

1. 問題の内容

$\frac{1}{2x^2-10x} \div \frac{1}{4x^2+8x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

割り算を掛け算に変換します。

$\frac{1}{2x^2-10x} \times \frac{4x^2+8x}{1}$

次に、それぞれの多項式を因数分解します。

$2x^2-10x = 2x(x-5)$

$4x^2+8x = 4x(x+2)$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{1}{2x(x-5)} \times 4x(x+2)$

次に、約分できる項を探します。$2x$ と $4x$ が約分でき、$4x / 2x = 2$ となります。

$\frac{1}{x-5} \times 2(x+2)$

最後に、残った項を掛け合わせます。

$\frac{2(x+2)}{x-5}$

$\frac{2x+4}{x-5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x+4}{x-5}$

**問題9(4)**

1. 問題の内容

$\frac{x^2-2x}{x^2+5x+6} \div \frac{2x-4}{x+2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

割り算を掛け算に変換します。

$\frac{x^2-2x}{x^2+5x+6} \times \frac{x+2}{2x-4}$

次に、それぞれの多項式を因数分解します。

$x^2-2x = x(x-2)$

$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$

$2x-4 = 2(x-2)$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{x(x-2)}{(x+2)(x+3)} \times \frac{x+2}{2(x-2)}$

次に、約分できる項を探します。$(x-2)$ と $(x+2)$ が約分できます。

$\frac{x}{(x+3)} \times \frac{1}{2}$

最後に、残った項を掛け合わせます。

$\frac{x}{2(x+3)}$

$\frac{x}{2x+6}$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{2x+6}$

**問題10(1)**

1. 問題の内容

$\frac{3}{4x} + \frac{1}{x+2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

通分します。分母は $4x(x+2)$ となります。

$\frac{3(x+2)}{4x(x+2)} + \frac{1(4x)}{4x(x+2)}$

分子を整理します。

$\frac{3x+6}{4x(x+2)} + \frac{4x}{4x(x+2)}$

足し合わせます。

$\frac{3x+6+4x}{4x(x+2)}$

$\frac{7x+6}{4x(x+2)}$

$\frac{7x+6}{4x^2+8x}$

3. 最終的な答え

$\frac{7x+6}{4x^2+8x}$

**問題10(2)**

1. 問題の内容

$\frac{3}{x+6} - \frac{1}{x-5}$ を計算します。

2. 解き方の手順

通分します。分母は $(x+6)(x-5)$ となります。

$\frac{3(x-5)}{(x+6)(x-5)} - \frac{1(x+6)}{(x+6)(x-5)}$

分子を整理します。

$\frac{3x-15}{(x+6)(x-5)} - \frac{x+6}{(x+6)(x-5)}$

引き算を行います。

$\frac{3x-15-(x+6)}{(x+6)(x-5)}$

$\frac{3x-15-x-6}{(x+6)(x-5)}$

$\frac{2x-21}{(x+6)(x-5)}$

$\frac{2x-21}{x^2+x-30}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x-21}{x^2+x-30}$

**問題10(3)**

1. 問題の内容

$\frac{2}{(x+1)(x+2)} + \frac{3x}{(x-1)(x+2)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

通分します。分母は $(x+1)(x+2)(x-1)$ となります。

$\frac{2(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-1)} + \frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+2)(x+1)}$

分子を整理します。

$\frac{2x-2}{(x+1)(x+2)(x-1)} + \frac{3x^2+3x}{(x-1)(x+2)(x+1)}$

足し合わせます。

$\frac{2x-2+3x^2+3x}{(x+1)(x+2)(x-1)}$

$\frac{3x^2+5x-2}{(x+1)(x+2)(x-1)}$

分子を因数分解します。

$3x^2+5x-2 = (3x-1)(x+2)$

$\frac{(3x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x-1)}$

約分できる項を探します。$(x+2)$ が約分できます。

$\frac{3x-1}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{3x-1}{x^2-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{3x-1}{x^2-1}$

**問題10(4)**

1. 問題の内容

$\frac{2}{x^2-4} + \frac{x+1}{x^2+2x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$x^2+2x = x(x+2)$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x+1}{x(x+2)}$

通分します。分母は $x(x-2)(x+2)$ となります。

$\frac{2x}{x(x-2)(x+2)} + \frac{(x+1)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}$

分子を整理します。

$\frac{2x}{x(x-2)(x+2)} + \frac{x^2-x-2}{x(x+2)(x-2)}$

足し合わせます。

$\frac{2x+x^2-x-2}{x(x-2)(x+2)}$

$\frac{x^2+x-2}{x(x-2)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$

$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-2)(x+2)}$

約分できる項を探します。$(x+2)$ が約分できます。

$\frac{x-1}{x(x-2)}$

$\frac{x-1}{x^2-2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-1}{x^2-2x}$