与えられた式 $(a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2$ を展開して、整理し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2$ を展開して、整理し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = (b+c-a)(b+c-a) = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ca$

$(c+a-b)^2 = (c+a-b)(c+a-b) = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2bc - 2ab$

$(a+b-c)^2 = (a+b-c)(a+b-c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$

次に、これらの展開した式を足し合わせます。

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$+ a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

$+ a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$

$+ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

同じ種類の項をまとめます。

$4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + (2ab - 2ab - 2ab + 2ab) + (2bc + 2bc - 2bc - 2bc) + (2ca - 2ca + 2ca - 2ca)$

$4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 0 + 0 + 0$

したがって、最終的な式は $4a^2 + 4b^2 + 4c^2$ です。

3. 最終的な答え

$4a^2 + 4b^2 + 4c^2$