(1) 多項式 $f(x)$ について、$f(a) = a$ が満たされるとき、$f(f(x)) - x$ は $x-a$ で割り切れることを示す問題。 (2) $f(x) = x^2 - 3x - 2$ のとき、$f(f(x)) - x = 0$ を満たす $x$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $f(x)$ について、$f(a) = a$ が満たされるとき、$f(f(x)) - x$ は $x-a$ で割り切れることを示す問題。

(2) $f(x) = x^2 - 3x - 2$ のとき、$f(f(x)) - x = 0$ を満たす $x$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $f(a)=a$ のとき、$f(f(x))-x$ が $x-a$ で割り切れることを示す。

$f(f(x)) - x$ に $x=a$ を代入すると、

$f(f(a)) - a$ となる。

$f(a) = a$ より、$f(f(a)) = f(a) = a$ であるから、

$f(f(a)) - a = a - a = 0$ となる。

したがって、剰余の定理より、$f(f(x))-x$ は $x-a$ で割り切れる。

(2) $f(x) = x^2 - 3x - 2$ のとき、$f(f(x)) - x = 0$ を満たす $x$ の値を求める。

まず、$f(f(x))$ を計算する。

$f(f(x)) = f(x^2 - 3x - 2) = (x^2 - 3x - 2)^2 - 3(x^2 - 3x - 2) - 2$

$f(f(x)) - x = (x^2 - 3x - 2)^2 - 3(x^2 - 3x - 2) - 2 - x = 0$

これは4次方程式なので解くのは難しい。

しかし、$f(x) = x$ を満たす $x$ は $f(f(x)) = f(x) = x$ を満たすから、$f(f(x)) - x = x - x = 0$ となる。

$x^2 - 3x - 2 = x$ を解く。

$x^2 - 4x - 2 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$x = 2 + \sqrt{6}$ と $x = 2 - \sqrt{6}$ が解である。

$f(f(x)) - x = (f(x) - x) g(x)$ と表せる。

$f(x) - x = x^2 - 4x - 2 = (x - (2+\sqrt{6}))(x-(2-\sqrt{6}))$

$f(f(x)) - x = 0$ より、$f(x) = x$ または $g(x) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(f(x)) - x$ は $x-a$ で割り切れる。

(2) $x = 2 + \sqrt{6}, 2 - \sqrt{6}$