$x = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})$ ($a > 0$, $a \neq 1$) のとき、$(x + \sqrt{x^2-1})^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})$ ($a > 0$, $a \neq 1$) のとき、$(x + \sqrt{x^2-1})^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ を計算する。

$x^2 = \left( \frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) \right)^2 = \frac{1}{4} (a + 2 + a^{-1})$

次に、$x^2 - 1$ を計算する。

$x^2 - 1 = \frac{1}{4} (a + 2 + a^{-1}) - 1 = \frac{1}{4} (a - 2 + a^{-1}) = \frac{1}{4} (a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2$

したがって、$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{4} (a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2} = \frac{1}{2} | a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} |$

$a > 0$ に注意して計算を進める。

$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2} (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} | a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} |$

ここで、$a > 1$ の場合、$a^{\frac{1}{2}} > a^{-\frac{1}{2}}$ なので、$| a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} | = a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}$

よって、$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2} (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} (a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}}$

$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$

$0 < a < 1$ の場合、$a^{\frac{1}{2}} < a^{-\frac{1}{2}}$ なので、$| a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} | = a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}$

よって、$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2} (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} (a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) = a^{-\frac{1}{2}}$

$(x + \sqrt{x^2 - 1})^2 = (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{-1} = \frac{1}{a}$

問題文に $a$ の範囲に関する記述がないため、$a > 1$ もしくは $0 < a < 1$ の場合で場合分けして答える。

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき $a$

$0 < a < 1$ のとき $\frac{1}{a}$