$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを平行移動したもので、頂点が $x$ 軸上にあり、点 $(3, 8)$ を通る2次関数を求める。

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを平行移動したもので、頂点が $x$ 軸上にあり、点 $(3, 8)$ を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

頂点が $x$ 軸上にあるので、頂点の座標は $(p, 0)$ とおくことができる。

したがって、求める2次関数は

$y = \frac{1}{2}(x - p)^2$

と表すことができる。

このグラフが点 $(3, 8)$ を通るので、$x = 3$, $y = 8$ を代入すると

$8 = \frac{1}{2}(3 - p)^2$

両辺を2倍して

$16 = (3 - p)^2$

$3 - p = \pm 4$

$p = 3 \pm 4$

したがって、$p = 7$ または $p = -1$ となる。

$p = 7$ のとき、

$y = \frac{1}{2}(x - 7)^2 = \frac{1}{2}(x^2 - 14x + 49) = \frac{1}{2}x^2 - 7x + \frac{49}{2}$

$p = -1$ のとき、

$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}(x - 7)^2$ すなわち $y = \frac{1}{2}x^2 - 7x + \frac{49}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2$ すなわち $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$