与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)$

定数項 $3y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y + 1)(y - 2)$

元の式は

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2)$

となります。

これを因数分解することを考えます。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると予想します。

$2x^2$ の項があるので、$a$ と $d$ の組み合わせは、$a=2$, $d=1$ か $a=1$, $d=2$ が考えられます。

$(2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形を仮定します。

$x$ の項は、$(2Cy + AD)x$ であり、これが $(5y - 3)x$ に等しくなければなりません。

定数項は、$BD$ であり、これが $(3y + 1)(y - 2)$ に等しくなければなりません。

$B = 3y + 1$ , $D = y - 2$ とすると

$2C(y-2) + A(3y+1) = (2C+3A)y + (A-4C) = 5y - 3$

よって、$2C + 3A = 5$ かつ $A - 4C = -3$ を満たす必要があります。

$A = 4C - 3$ を $2C + 3A = 5$ に代入すると

$2C + 3(4C - 3) = 5$

$2C + 12C - 9 = 5$

$14C = 14$

$C = 1$

$A = 4(1) - 3 = 1$

よって、

$(2x + y + 3y + 1)(x + y - 2)$

$(2x + (3y + 1))(x + (y - 2))$

$(2x + y + A)(x + y + C)$を考えると、$2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2 = (2x+3y+1)(x+y-2)$

$(2x+3y+1)(x+y-2) = 2x^2 + 2xy -4x + 3xy + 3y^2 -6y + x + y -2 = 2x^2 + 5xy + 3y^2 -3x -5y -2$ となり一致します。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$