$a$ が0でない定数であるとき、不等式 $\sqrt{a^2 - x^2} > ax - a$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$a$ が0でない定数であるとき、不等式 $\sqrt{a^2 - x^2} > ax - a$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{a^2 - x^2}$ が定義される条件から、$a^2 - x^2 \ge 0$ である必要があります。

これは、$x^2 \le a^2$ と同値であり、$-|a| \le x \le |a|$ となります。

次に、与えられた不等式 $\sqrt{a^2 - x^2} > ax - a$ を考えます。

場合分けをします。

(i) $ax - a < 0$ のとき

このとき、$ax < a$ となり、

もし $a > 0$ ならば、$x < 1$ となり、

もし $a < 0$ ならば、$x > 1$ となります。

この場合、$\sqrt{a^2 - x^2} \ge 0$ なので、不等式は常に成り立ちます。

(ii) $ax - a \ge 0$ のとき

このとき、$ax \ge a$ となり、

もし $a > 0$ ならば、$x \ge 1$ となり、

もし $a < 0$ ならば、$x \le 1$ となります。

この場合、不等式の両辺はともに非負なので、2乗して不等号の向きは変わりません。

$a^2 - x^2 > (ax - a)^2$

$a^2 - x^2 > a^2x^2 - 2a^2x + a^2$

$0 > a^2x^2 + x^2 - 2a^2x$

$0 > (a^2 + 1)x^2 - 2a^2x$

$0 > x((a^2 + 1)x - 2a^2)$

したがって、$x((a^2 + 1)x - 2a^2) < 0$ となります。

この不等式を解くと、$0 < x < \frac{2a^2}{a^2 + 1}$ となります。

以上の議論をまとめると、

(i) $a>0$ のとき

$-a \le x \le a$ かつ $x < 1$ または $1 \le x < \frac{2a^2}{a^2 + 1}$ を満たす必要があります。

$\frac{2a^2}{a^2 + 1} = \frac{2a^2 + 2 - 2}{a^2 + 1} = 2 - \frac{2}{a^2+1} < 2$ であり、$a>0$ なので $0< \frac{2a^2}{a^2 + 1} < 2$。

$x$ の範囲は $-a \le x < \frac{2a^2}{a^2+1}$。

(ii) $a<0$ のとき

$a \le x \le -a$ かつ $x > 1$ または $0 < x \le 1$ を満たす必要があります。

$x$ の範囲は $0 < x \le -a$。

3. 最終的な答え

$a>0$ のとき：$-a \le x < \frac{2a^2}{a^2+1}$

$a<0$ のとき：$0 < x \le -a$