与えられた数式の値を求める問題です。数式は、 $2(1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1) - 4$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は、

$2(1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n) = 2(2^{n+1} - 1) - 4$

です。

2. 解き方の手順

左辺の括弧の中は、初項1、公比2の等比数列の和です。等比数列の和の公式を用いると、

$1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n = \frac{1(2^{n+1} - 1)}{2-1} - 2 + 1 = 2^{n+1} - 1 - 1 = 2^{n+1} - 2$

となります。

したがって、左辺は

$2(2^{n+1} - 2) = 2^{n+2} - 4$

右辺は、

$2(2^{n+1} - 1) - 4 = 2^{n+2} - 2 - 4 = 2^{n+2} - 6$

となります。

したがって、与えられた等式は

$2^{n+2} - 4 = 2^{n+2} - 6$

となり、これは成り立ちません。

左辺を計算しなおします。

$1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n = \frac{1(2^{n} - 1)}{2-1} = 2^n - 1$と勘違いしてしまいました。正しくは、初項が1, 公比が2の等比数列の和から$2^0 = 1$を除いたものなので、初項を$2^0=1$から$2^n$までの和から$2^1=2$を除いたものを計算するべきです。

$1+2^2+2^3+...+2^n = \frac{1(2^{n+1}-1)}{2-1}-2^1=2^{n+1}-1-2 = 2^{n+1}-3$

左辺は$2(2^{n+1}-3) = 2^{n+2}-6$

右辺は$2(2^{n+1}-1) - 4 = 2^{n+2} -2 - 4 = 2^{n+2} -6$

左辺と右辺が一致するので、与式は恒等式です。

3. 最終的な答え

与えられた等式は常に成り立つ。