与えられた多項式の計算問題です。全部で6問あります。

1. 問題の内容

与えられた多項式の計算問題です。全部で6問あります。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で計算を行います。

(1) $(x-6y)(x-3y)+(x+7y)^2$

まず、それぞれの項を展開します。

$(x-6y)(x-3y) = x^2 - 3xy - 6xy + 18y^2 = x^2 - 9xy + 18y^2$

$(x+7y)^2 = x^2 + 2(x)(7y) + (7y)^2 = x^2 + 14xy + 49y^2$

これらを足し合わせます。

$x^2 - 9xy + 18y^2 + x^2 + 14xy + 49y^2 = 2x^2 + 5xy + 67y^2$

(2) $(a-6b)(a+2b)-(a+b)(a-3b)$

まず、それぞれの項を展開します。

$(a-6b)(a+2b) = a^2 + 2ab - 6ab - 12b^2 = a^2 - 4ab - 12b^2$

$(a+b)(a-3b) = a^2 - 3ab + ab - 3b^2 = a^2 - 2ab - 3b^2$

これらを引きます。

$a^2 - 4ab - 12b^2 - (a^2 - 2ab - 3b^2) = a^2 - 4ab - 12b^2 - a^2 + 2ab + 3b^2 = -2ab - 9b^2$

(3) $(2x-5y)(2x+3y)+3(x+2y)^2$

まず、それぞれの項を展開します。

$(2x-5y)(2x+3y) = 4x^2 + 6xy - 10xy - 15y^2 = 4x^2 - 4xy - 15y^2$

$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

$3(x+2y)^2 = 3(x^2 + 4xy + 4y^2) = 3x^2 + 12xy + 12y^2$

これらを足し合わせます。

$4x^2 - 4xy - 15y^2 + 3x^2 + 12xy + 12y^2 = 7x^2 + 8xy - 3y^2$

(4) $(3a+8b)(3a-8b)-2(2a-3b)^2$

まず、それぞれの項を展開します。

$(3a+8b)(3a-8b) = (3a)^2 - (8b)^2 = 9a^2 - 64b^2$

$(2a-3b)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(3b) + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$

$2(2a-3b)^2 = 2(4a^2 - 12ab + 9b^2) = 8a^2 - 24ab + 18b^2$

これらを引きます。

$9a^2 - 64b^2 - (8a^2 - 24ab + 18b^2) = 9a^2 - 64b^2 - 8a^2 + 24ab - 18b^2 = a^2 + 24ab - 82b^2$

(5) $2(5m-2n)^2+3(5m+2n)^2$

まず、それぞれの項を展開します。

$(5m-2n)^2 = (5m)^2 - 2(5m)(2n) + (2n)^2 = 25m^2 - 20mn + 4n^2$

$2(5m-2n)^2 = 2(25m^2 - 20mn + 4n^2) = 50m^2 - 40mn + 8n^2$

$(5m+2n)^2 = (5m)^2 + 2(5m)(2n) + (2n)^2 = 25m^2 + 20mn + 4n^2$

$3(5m+2n)^2 = 3(25m^2 + 20mn + 4n^2) = 75m^2 + 60mn + 12n^2$

これらを足し合わせます。

$50m^2 - 40mn + 8n^2 + 75m^2 + 60mn + 12n^2 = 125m^2 + 20mn + 20n^2$

(6) $3(6x+7y)(6x-7y) - 5(4x-y)(4x+y)$

まず、それぞれの項を展開します。

$(6x+7y)(6x-7y) = (6x)^2 - (7y)^2 = 36x^2 - 49y^2$

$3(6x+7y)(6x-7y) = 3(36x^2 - 49y^2) = 108x^2 - 147y^2$

$(4x-y)(4x+y) = (4x)^2 - y^2 = 16x^2 - y^2$

$5(4x-y)(4x+y) = 5(16x^2 - y^2) = 80x^2 - 5y^2$

これらを引きます。

$108x^2 - 147y^2 - (80x^2 - 5y^2) = 108x^2 - 147y^2 - 80x^2 + 5y^2 = 28x^2 - 142y^2$

3. 最終的な答え

(1) $2x^2 + 5xy + 67y^2$

(2) $-2ab - 9b^2$

(3) $7x^2 + 8xy - 3y^2$

(4) $a^2 + 24ab - 82b^2$

(5) $125m^2 + 20mn + 20n^2$

(6) $28x^2 - 142y^2$