第10項が33、第20項が13である等差数列 $\{a_n\}$ において、初めて負になる項は何項であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

第10項が33、第20項が13である等差数列 $\{a_n\}$ において、初めて負になる項は何項であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおきます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、

$a_{10} = a + 9d = 33$

$a_{20} = a + 19d = 13$

この連立方程式を解きます。

(2番目の式) - (1番目の式) を計算すると、

$10d = -20$

$d = -2$

これを $a + 9d = 33$ に代入すると、

$a + 9(-2) = 33$

$a - 18 = 33$

$a = 51$

したがって、一般項は $a_n = 51 + (n-1)(-2) = 51 - 2n + 2 = 53 - 2n$ となります。

初めて負になる項を求めるには、$a_n < 0$ となる $n$ の最小の整数値を求めればよいです。

$53 - 2n < 0$

$53 < 2n$

$n > \frac{53}{2} = 26.5$

したがって、$n$ は27以上の整数となります。最小の整数値は $n = 27$ です。

3. 最終的な答え

第27項