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四面体OABCにおいて、OA=3, OB=4, OC=5, $OA \perp AB$, $OA \perp AC$である。OAの中点をDとし、OBを1:3に内分する点をE, OCを1:3に内分する点をFとする。3点D, E, Fを通る平面上の点Gがあり、$EG \perp DE$, $FG \perp DF$を満たす。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。 (1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$と$\vec{a} \cdot \vec{c}$の値を求める。 (2) $\vec{b} \cdot \vec{c} = t$とおくとき、$\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$および$t$を用いて表す。$\vec{OG} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}$とおくときの$\alpha, \beta, \gamma$を求める。

幾何学ベクトル空間ベクトル四面体内積
2025/8/7

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OA=3, OB=4, OC=5, OA⊥ABOA \perp AB, OA⊥ACOA \perp ACである。OAの中点をDとし、OBを1:3に内分する点をE, OCを1:3に内分する点をFとする。3点D, E, Fを通る平面上の点Gがあり、EG⊥DEEG \perp DE, FG⊥DFFG \perp DFを満たす。OA⃗=a⃗\vec{OA} = \vec{a}, OB⃗=b⃗\vec{OB} = \vec{b}, OC⃗=c⃗\vec{OC} = \vec{c}とする。
(1) 内積a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}とa⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot \vec{c}の値を求める。
(2) b⃗⋅c⃗=t\vec{b} \cdot \vec{c} = tとおくとき、OG⃗\vec{OG}をa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}およびttを用いて表す。OG⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗\vec{OG} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}とおくときのα,β,γ\alpha, \beta, \gammaを求める。

2. 解き方の手順

(1)
OA⊥ABOA \perp ABより、a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡π2=0\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\frac{\pi}{2}} = 0
OA⊥ACOA \perp ACより、a⃗⋅c⃗=∣a⃗∣∣c⃗∣cos⁡π2=0\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}| \cos{\frac{\pi}{2}} = 0
(2)
OD⃗=12a⃗\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}, OE⃗=14b⃗\vec{OE} = \frac{1}{4}\vec{b}, OF⃗=14c⃗\vec{OF} = \frac{1}{4}\vec{c}
点Gは3点D, E, Fを通る平面上にあるので、実数s, tを用いて、
DG⃗=sDE⃗+tDF⃗\vec{DG} = s\vec{DE} + t\vec{DF}と表せる。
OG⃗=OD⃗+DG⃗=12a⃗+s(OE⃗−OD⃗)+t(OF⃗−OD⃗)\vec{OG} = \vec{OD} + \vec{DG} = \frac{1}{2}\vec{a} + s(\vec{OE} - \vec{OD}) + t(\vec{OF} - \vec{OD})
OG⃗=12a⃗+s(14b⃗−12a⃗)+t(14c⃗−12a⃗)\vec{OG} = \frac{1}{2}\vec{a} + s(\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}) + t(\frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a})
OG⃗=(12−12s−12t)a⃗+14sb⃗+14tc⃗\vec{OG} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t)\vec{a} + \frac{1}{4}s\vec{b} + \frac{1}{4}t\vec{c}
OG⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗\vec{OG} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}とおくと、
α=12−12s−12t\alpha = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t, β=14s\beta = \frac{1}{4}s, γ=14t\gamma = \frac{1}{4}t
s=4β,t=4γs = 4\beta, t = 4\gamma
α=12−12(4β)−12(4γ)=12−2β−2γ\alpha = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(4\beta) - \frac{1}{2}(4\gamma) = \frac{1}{2} - 2\beta - 2\gamma
2α+4β+4γ=12\alpha + 4\beta + 4\gamma = 1
また、EG⊥DE,FG⊥DFEG \perp DE, FG \perp DFより、EG⃗⋅DE⃗=0,FG⃗⋅DF⃗=0\vec{EG} \cdot \vec{DE} = 0, \vec{FG} \cdot \vec{DF} = 0
EG⃗=OG⃗−OE⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗−14b⃗=αa⃗+(β−14)b⃗+γc⃗\vec{EG} = \vec{OG} - \vec{OE} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} - \frac{1}{4}\vec{b} = \alpha \vec{a} + (\beta - \frac{1}{4})\vec{b} + \gamma \vec{c}
DE⃗=OE⃗−OD⃗=14b⃗−12a⃗\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}
EG⃗⋅DE⃗=(αa⃗+(β−14)b⃗+γc⃗)⋅(14b⃗−12a⃗)=0\vec{EG} \cdot \vec{DE} = (\alpha \vec{a} + (\beta - \frac{1}{4})\vec{b} + \gamma \vec{c}) \cdot (\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}) = 0
−12α∣a⃗∣2+14(β−14)∣b⃗∣2+14γ(b⃗⋅c⃗)=0-\frac{1}{2}\alpha |\vec{a}|^2 + \frac{1}{4}(\beta - \frac{1}{4})|\vec{b}|^2 + \frac{1}{4}\gamma (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0
−12α(32)+14(β−14)(42)+14γt=0-\frac{1}{2}\alpha (3^2) + \frac{1}{4}(\beta - \frac{1}{4})(4^2) + \frac{1}{4}\gamma t = 0
−92α+4(β−14)+14γt=0-\frac{9}{2}\alpha + 4(\beta - \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}\gamma t = 0
−92α+4β−1+14γt=0-\frac{9}{2}\alpha + 4\beta - 1 + \frac{1}{4}\gamma t = 0
−18α+16β+γt−4=0-18\alpha + 16\beta + \gamma t - 4 = 0
FG⃗=OG⃗−OF⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗−14c⃗=αa⃗+βb⃗+(γ−14)c⃗\vec{FG} = \vec{OG} - \vec{OF} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} - \frac{1}{4}\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + (\gamma - \frac{1}{4})\vec{c}
DF⃗=OF⃗−OD⃗=14c⃗−12a⃗\vec{DF} = \vec{OF} - \vec{OD} = \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}
FG⃗⋅DF⃗=(αa⃗+βb⃗+(γ−14)c⃗)⋅(14c⃗−12a⃗)=0\vec{FG} \cdot \vec{DF} = (\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + (\gamma - \frac{1}{4})\vec{c}) \cdot (\frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}) = 0
−12α∣a⃗∣2+14(γ−14)∣c⃗∣2+14β(b⃗⋅c⃗)=0-\frac{1}{2}\alpha |\vec{a}|^2 + \frac{1}{4}(\gamma - \frac{1}{4})|\vec{c}|^2 + \frac{1}{4}\beta (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0
−12α(32)+14(γ−14)(52)+14βt=0-\frac{1}{2}\alpha (3^2) + \frac{1}{4}(\gamma - \frac{1}{4})(5^2) + \frac{1}{4}\beta t = 0
−92α+254(γ−14)+14βt=0-\frac{9}{2}\alpha + \frac{25}{4}(\gamma - \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}\beta t = 0
−18α+25γ−254+βt=0-18\alpha + 25\gamma - \frac{25}{4} + \beta t = 0
−72α+100γ+4βt−25=0-72\alpha + 100\gamma + 4\beta t - 25 = 0
2α+4β+4γ=12\alpha + 4\beta + 4\gamma = 1
−18α+16β+γt−4=0-18\alpha + 16\beta + \gamma t - 4 = 0
−72α+4βt+100γ−25=0-72\alpha + 4\beta t + 100\gamma - 25 = 0
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{4(t-25)}{4(t^2-16)}
γ=4(t−4)t2−16\gamma = \frac{4(t-4)}{t^2-16}

3. 最終的な答え

(1) a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, a⃗⋅c⃗=0\vec{a} \cdot \vec{c} = 0
(2) α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2(t^2 - 16)}, β=4(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{4(t - 25)}{4(t^2 - 16)}, γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25(t - 4)}{4(t^2 - 16)}
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2(t^2 - 16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{4(t - 25)}{4(t^2 - 16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25(t - 4)}{4(t^2 - 16)}
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}, β=16(t−25)4(4(t2−16))\beta = \frac{16(t-25)}{4(4(t^2-16))}, γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25(t-4)}{4(t^2-16)}
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2(t^2 - 16)}
β=16(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{16 (t - 25)}{4 (t^2 - 16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25 (t - 4)}{4 (t^2 - 16)}
修正版
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2(t^2 - 16)}
β=16(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{16(t - 25)}{4(t^2 - 16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25(t - 4)}{4(t^2 - 16)}
α=12−2β−2γ\alpha = \frac{1}{2}-2\beta-2\gamma
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2 (t^2 - 16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{4 (t - 25)}{4 (t^2 - 16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25 (t - 4)}{4 (t^2 - 16)}
α=t2−20t+1002t2−32\alpha = \frac{t^2-20t+100}{2t^2-32}
β=4t−1004t2−64\beta = \frac{4t-100}{4t^2-64}
γ=25t−1004t2−64\gamma = \frac{25t-100}{4t^2-64}
内積a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 , a⃗⋅c⃗=0\vec{a}\cdot\vec{c}=0
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha=\frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta=\frac{4(t-25)}{4(t^2-16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma=\frac{25(t-4)}{4(t^2-16)}
最終の答え
(1) a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot \vec{b} = 0, a⃗⋅c⃗=0\vec{a}\cdot \vec{c} = 0
(2) α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2(t^2 - 16)}, β=16(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{16(t - 25)}{4(t^2 - 16)}, γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25(t - 4)}{4(t^2 - 16)}
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}, β=4(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{4(t-25)}{4(t^2-16)}, γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25(t-4)}{4(t^2-16)}
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha=\frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta=\frac{4(t-25)}{4(t^2-16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma=\frac{25(t-4)}{4(t^2-16)}
最終解答
(1) a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, a⃗⋅c⃗=0\vec{a} \cdot \vec{c} = 0
(2) α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2 - 20t + 100}{2 (t^2 - 16)}、β=4(t−25)4(t2−16)\beta = \frac{4 (t - 25)}{4 (t^2 - 16)}、γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma = \frac{25 (t - 4)}{4 (t^2 - 16)}
α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha=\frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta=\frac{4(t-25)}{4(t^2-16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma=\frac{25(t-4)}{4(t^2-16)}
最終的な答え
(1) a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, a⃗⋅c⃗=0\vec{a} \cdot \vec{c} = 0
(2) α=t2−20t+1002(t2−16)\alpha = \frac{t^2-20t+100}{2(t^2-16)}
β=4(t−25)4(t2−16)\beta=\frac{4(t-25)}{4(t^2-16)}
γ=25(t−4)4(t2−16)\gamma=\frac{25(t-4)}{4(t^2-16)}

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