問題3: 図において、点Gは三角形ABCの重心であり、EF//BCである。このとき、$x$と$y$の値を求めよ。 問題4(1): 図において、$BP:PC$を求めよ。 問題4(2): 図において、$BP:PC$を求めよ。

1. 問題の内容

問題3: 図において、点Gは三角形ABCの重心であり、EF//BCである。このとき、$x$と$y$の値を求めよ。

問題4(1): 図において、$BP:PC$を求めよ。

問題4(2): 図において、$BP:PC$を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3:

Gは三角形ABCの重心であるから、AG:GD=2:1である。AD=4+6=10より、AG= $\frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$。

したがって、$x=\frac{20}{3}$

EF//BCであるから、三角形AEFと三角形ABCは相似である。

AG:AD = y : 6

$\frac{20}{3}: 10 = y:6$

$10y = \frac{20}{3} \times 6 = 40$

$y=4$

問題4(1):

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{3} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{6}{5} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{3 \times 5}{4 \times 6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

したがって、$BP:PC=5:8$

問題4(2):

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AP}{PC} \times \frac{CB}{BQ} \times \frac{QR}{RA} = 1$

$\frac{2}{6} \times \frac{6+4}{3} \times \frac{AR}{AR} = 1$

$\frac{AP}{PC} \times \frac{BC}{BR} = \frac{AC}{CA}$

$\frac{BP}{PC} \times \frac{3}{4} \times \frac{4+6}{2} = 1$

$\frac{6}{3} \times \frac{BC}{CA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{6} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{4}{3} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{6 \times 3}{2 \times 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

したがって、$BP:PC = 9:4$

3. 最終的な答え

問題3: $x=\frac{20}{3}$, $y=4$

問題4(1): $BP:PC=5:8$

問題4(2): $BP:PC = 9:4$