三角形ABCにおいて、角ABCは鋭角であり、$\sin{\angle ABC} = \frac{3}{5}$ である。 (1) $\cos{\angle ABC}$ の値を求める。 (2) $BC = 10$, $AC = \sqrt{37}$ のとき、辺ABの長さを求め、小さい方のABの値のときの三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角ABCは鋭角であり、$\sin{\angle ABC} = \frac{3}{5}$ である。

(1) $\cos{\angle ABC}$ の値を求める。

(2) $BC = 10$, $AC = \sqrt{37}$ のとき、辺ABの長さを求め、小さい方のABの値のときの三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ の関係を用いる。

$\cos^2{\angle ABC} = 1 - \sin^2{\angle ABC} = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\angle ABC$ は鋭角なので、$\cos{\angle ABC} > 0$ であるから、

$\cos{\angle ABC} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(2) 余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$(\sqrt{37})^2 = AB^2 + 10^2 - 2 \cdot AB \cdot 10 \cdot \frac{4}{5}$

$37 = AB^2 + 100 - 16 \cdot AB$

$AB^2 - 16 \cdot AB + 63 = 0$

$(AB - 7)(AB - 9) = 0$

よって、$AB = 7$ または $AB = 9$

$AB = 7$ のとき、三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 21$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle ABC} = \frac{4}{5}$

(2) $AB = 7$ または $AB = 9$

$AB = 7$ のとき、$\triangle ABC$ の面積は $21$