一辺が10cmの立方体において、点PとQはそれぞれ辺BFとDHの中点です。四角形APGQの面積を求めなさい。

1. 問題の内容

一辺が10cmの立方体において、点PとQはそれぞれ辺BFとDHの中点です。四角形APGQの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、APとAQの長さを求めます。PはBFの中点なので、BP = 5cmです。直角三角形ABPにおいて、三平方の定理より、

$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

同様に、AQの長さも$5\sqrt{5}$cmとなります。

次に、PQの長さを求めます。PとQはそれぞれBFとDHの中点なので、PQは長方形BFHDの中を通る線分となります。したがって、PQは線分BDと平行で、その長さはBDと等しくなります。BDは正方形ABCDの対角線なので、

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

したがって、$PQ = 10\sqrt{2}$です。

次に、AGの長さを求めます。AGは立方体の対角線なので、

$AG = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CG^2} = \sqrt{10^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$

四角形APGQは等脚台形です。AP=GQ=$5\sqrt{5}$, PQ=$10\sqrt{2}$, AG=$10\sqrt{3}$です。

この四角形を線分ACで二つの三角形に分割します。

三角形APQと三角形AQGの面積をそれぞれ求めても良いですが、今回は高さを使って考えます。

等脚台形APGQの面積は、$\frac{(PQ+AG)h}{2} = \frac{(10\sqrt{2} + AG)h}{2}$ で求められます。

Aから線分PQへ垂線を下ろし、交点をIとすると、AIは台形APGQの高さに相当します。

線分AIを求めるのは難しいので、別の方法で考えます。

四角形APGQは菱形であることに注目します。菱形の面積は対角線の積の半分で求められます。

対角線AG=$10\sqrt{3}$がわかっているので、対角線PQを求める必要があります。先ほど求めたように、PQ=$10\sqrt{2}$です。

したがって、四角形APGQの面積は、

$\frac{1}{2} \times AG \times PQ = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} \times 10\sqrt{2} = 50\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

四角形APGQの面積は$50\sqrt{6}$ $cm^2$です。