一辺の長さが10cmの正三角形ABCがある。辺BC上にBP=2cmとなる点Pをとる。頂点Aが点Pに重なるように正三角形の紙を折るとき、辺AB, ACと折り目の交点をそれぞれD, Eとする。このとき、ADの長さ、AEの長さ、および三角形ADEの面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正三角形ABCがある。辺BC上にBP=2cmとなる点Pをとる。頂点Aが点Pに重なるように正三角形の紙を折るとき、辺AB, ACと折り目の交点をそれぞれD, Eとする。このとき、ADの長さ、AEの長さ、および三角形ADEの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、折り返した図形を考える。折り目によって、APは線分ADと線分AEの垂直二等分線となる。

したがって、AD = PD, AE = PEとなる。

BP = 2cm, BC = 10cmであるから、PC = BC - BP = 10 - 2 = 8cm。

また、三角形ABCは正三角形なので、∠B = ∠C = 60°。

三角形PBDにおいて、∠B = 60°、BD = xとすると、AD = 10 - xであり、PD = ADなので、PD = 10 - x。

余弦定理より、

$PD^2 = BP^2 + BD^2 - 2 * BP * BD * cos(∠B)$

$(10 - x)^2 = 2^2 + x^2 - 2 * 2 * x * cos(60°)$

$100 - 20x + x^2 = 4 + x^2 - 4x * (1/2)$

$100 - 20x = 4 + x^2 - 2x - x^2$

$96 = 18x$

$x = 96/18 = 16/3$

したがって、AD = 10 - (16/3) = 30/3 - 16/3 = 14/3 cm

次に、三角形PCEにおいて、CE = yとすると、AE = 10 - yであり、PE = AEなので、PE = 10 - y。

余弦定理より、

$PE^2 = PC^2 + CE^2 - 2 * PC * CE * cos(∠C)$

$(10 - y)^2 = 8^2 + y^2 - 2 * 8 * y * cos(60°)$

$100 - 20y + y^2 = 64 + y^2 - 16y * (1/2)$

$100 - 20y = 64 + y^2 - 8y - y^2$

$36 = 12y$

$y = 3$

したがって、AE = 10 - 3 = 7 cm

三角形ADEの面積を求める。

AD = 14/3, AE = 7, ∠A = 60°

三角形ADEの面積 = $(1/2) * AD * AE * sin(∠A) = (1/2) * (14/3) * 7 * sin(60°) = (1/2) * (14/3) * 7 * (√3/2) = (98√3)/12 = (49√3)/6$

3. 最終的な答え

AD = 14/3 cm

AE = 7 cm

三角形ADEの面積 = (49√3)/6 cm²