一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、対角線AGとBHの交点をOとする。$\angle AOB = \alpha$とするとき、$\cos{\alpha}$の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、対角線AGとBHの交点をOとする。$\angle AOB = \alpha$とするとき、$\cos{\alpha}$の値を求める。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AG} / 2$ , $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BH} / 2$であり、$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の内積を計算することで$\cos{\alpha}$を求める。

まず、座標を設定する。A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), E(0, 0, 2), F(2, 0, 2), G(2, 2, 2), H(0, 2, 2)とする。

すると、

$\overrightarrow{AG} = (2, 2, 2)$

$\overrightarrow{BH} = (-2, 2, 2)$

となる。よって、

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AG} / 2 = (1, 1, 1)$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BH} / 2 = (-1, 1, 1)$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$\cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos{\alpha} = \frac{1}{3}$