(1) 球面 $x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z+5=0$ と $xy$ 平面の交わりの円の中心と半径を求めよ。 (2) 中心が点 $(-2, 4, -2)$ で、2つの座標平面に接する球面 $S$ の方程式を求めよ。また、球面 $S$ と平面 $x=k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき、$k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 球面 $x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z+5=0$ と $xy$ 平面の交わりの円の中心と半径を求めよ。

(2) 中心が点 $(-2, 4, -2)$ で、2つの座標平面に接する球面 $S$ の方程式を求めよ。また、球面 $S$ と平面 $x=k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき、$k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた球面の方程式を平方完成します。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + (z^2 + 2z) + 5 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 2z + 1) + 5 - 4 - 9 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9$

これは中心 $(2, 3, -1)$、半径 $3$ の球面です。

$xy$ 平面との交わりは、$z = 0$ のときなので、

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 + 1)^2 = 9$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 - 1 = 8$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{2})^2$

したがって、中心は $(2, 3)$、半径は $2\sqrt{2}$ となります。

(2)

中心が $(-2, 4, -2)$ で、2つの座標平面に接する球面 $S$ の方程式を考えます。

球面が $yz$ 平面に接するとすると、半径は $|-2| = 2$ となります。

球面が $xz$ 平面に接するとすると、半径は $|4| = 4$ となります。

球面が $xy$ 平面に接するとすると、半径は $|-2| = 2$ となります。

2つの座標平面に接するという条件から、例えば$xz$平面と$yz$平面に接すると半径は$|-2|=2$となります。また、$xy$平面と$yz$平面に接すると半径は$|-2|=2$となります。$xy$平面と$xz$平面に接すると半径は$|-2|=2$となります。

いずれの場合でも半径は$2$となることが分かります。

よって、球面 $S$ の方程式は $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 4$ となります。

球面 $S$ と平面 $x = k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき、

$(k + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 4$

$(y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 4 - (k + 2)^2$

この円の半径が $\sqrt{3}$ なので、

$4 - (k + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$(k + 2)^2 = 4 - 3 = 1$

$k + 2 = \pm 1$

$k = -2 \pm 1$

$k = -1, -3$

3. 最終的な答え

(1) 中心: (2, 3), 半径: $2\sqrt{2}$

(2) 球面 $S$ の方程式: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 4$, $k = -1, -3$