$x$軸と$y$軸の両方に接し、点$(1, -2)$を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$x$軸と$y$軸の両方に接し、点$(1, -2)$を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心の座標は$(r, -r)$の形になります（第4象限にあるため、$y$座標は負です）。半径は$r$で、円の方程式は

$(x - r)^2 + (y + r)^2 = r^2$

と表せます。

この円が点$(1, -2)$を通るので、この点を円の方程式に代入すると

$(1 - r)^2 + (-2 + r)^2 = r^2$

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1, 5$

したがって、円の方程式は

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$

$(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$

展開すると

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 1$

$x^2 - 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$

$x^2 - 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 = 25$

$x^2 - 10x + y^2 + 10y + 25 = 0$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ すなわち $x^2 - 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$

$(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$ すなわち $x^2 - 10x + y^2 + 10y + 25 = 0$