点 $P(\sqrt{c}, 0)$ ($c \ge 0$) を通り、楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$) に接する直線が、$y \ge 0$ で $y$ 軸と交わる点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

点 $P(\sqrt{c}, 0)$ ($c \ge 0$) を通り、楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$) に接する直線が、$y \ge 0$ で $y$ 軸と交わる点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $P(\sqrt{c}, 0)$ を通る直線を $y = m(x - \sqrt{c})$ とおく。この直線が楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ に接するので、連立させて $y$ を消去した式

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{m^2(x - \sqrt{c})^2}{b^2} = 1$

が重解を持つ条件を考える。これを整理すると、

$b^2x^2 + a^2m^2(x^2 - 2\sqrt{c}x + c) = a^2b^2$

$(b^2 + a^2m^2)x^2 - 2a^2m^2\sqrt{c}x + a^2m^2c - a^2b^2 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ であるから、

$D/4 = (a^2m^2\sqrt{c})^2 - (b^2 + a^2m^2)(a^2m^2c - a^2b^2) = 0$

$a^4m^4c - (b^2 + a^2m^2)(a^2m^2c - a^2b^2) = 0$

$a^4m^4c - a^2b^2m^2c + a^2b^4 - a^4m^4c + a^4b^2m^2 = 0$

$a^4b^2m^2 - a^2b^2cm^2 + a^2b^4 = 0$

$a^2m^2 - cm^2 + b^2 = 0$

$(a^2 - c)m^2 + b^2 = 0$

$m^2 = \frac{-b^2}{a^2 - c}$

$y$ 軸との交点 $Q$ は、$x = 0$ のときの $y$ の値であるから、$y = m(0 - \sqrt{c}) = -m\sqrt{c}$ となる。条件より $y \ge 0$ なので、$m \le 0$。

$m = -\sqrt{\frac{b^2}{c - a^2}} = -b\sqrt{\frac{1}{c - a^2}}$

$Q$ の $y$ 座標は $y_Q = -m\sqrt{c} = b\sqrt{\frac{c}{c - a^2}}$

$PQ$ の長さは、$PQ = \sqrt{(\sqrt{c} - 0)^2 + (0 - b\sqrt{\frac{c}{c - a^2}})^2} = \sqrt{c + b^2\frac{c}{c - a^2}} = \sqrt{c\left(1 + \frac{b^2}{c - a^2}\right)} = \sqrt{c\left(\frac{c - a^2 + b^2}{c - a^2}\right)} = \sqrt{\frac{c(c - a^2 + b^2)}{c - a^2}}$

ただし、$c>a^2$が必要。

$PQ = |y_Q| = b\sqrt{\frac{c}{c-a^2}}\sqrt{c}$

直線はP($\sqrt{c}$,0)を通るので、

$y=m(x-\sqrt{c})$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$に代入して、

$b^2x^2+a^2m^2(x-\sqrt{c})^2 = a^2b^2$

$(b^2+a^2m^2)x^2 - 2a^2\sqrt{c}m^2x + a^2(cm^2-b^2) = 0$

接するので、D=0

$D/4 = a^4cm^4 - (b^2+a^2m^2)a^2(cm^2-b^2) = 0$

$a^2cm^2 - (b^2+a^2m^2)(cm^2-b^2) = 0$

$a^2cm^2-(b^2cm^2-b^4+a^2cm^4-a^2b^2m^2) = 0$

$a^2b^2m^2 - b^2cm^2 + b^4 - a^2cm^4+a^2cm^4 = 0$

$(a^2-c)m^2+b^2=0$

$m^2 = \frac{-b^2}{a^2-c} = \frac{b^2}{c-a^2}$

$y = m(x-\sqrt{c})$とy軸の交点は(0,-m$\sqrt{c}$)　$y \ge 0$より$m<0$

$m = -b/\sqrt{c-a^2}$

Qは（0,$\frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{c-a^2}}$）

PQ = $\sqrt{c+\frac{b^2c}{c-a^2}}=\sqrt{\frac{c^2-ca^2+cb^2}{c-a^2}}=\sqrt{\frac{c(c+b^2-a^2)}{c-a^2}}$

一方、

$PQ = -m\sqrt{c} = \frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{c-a^2}}$

3. 最終的な答え

$PQ = \frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{c-a^2}}$