定点A($\vec{a}$)と任意の点P($\vec{p}$)に対して、次のベクトル方程式が円を表す。その円の中心の位置ベクトルと半径を求める。 (1) $|\vec{p}-2\vec{a}|=1$ (2) $|3\vec{p}-\vec{a}|=6$

1. 問題の内容

定点A($\vec{a}$)と任意の点P($\vec{p}$)に対して、次のベクトル方程式が円を表す。その円の中心の位置ベクトルと半径を求める。

(1) $|\vec{p}-2\vec{a}|=1$

(2) $|3\vec{p}-\vec{a}|=6$

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{p}-2\vec{a}|=1$

この式は、点P($\vec{p}$)と点(2$\vec{a}$)との距離が1であることを意味する。

したがって、中心の位置ベクトルは2$\vec{a}$で、半径は1である。

(2) $|3\vec{p}-\vec{a}|=6$

この式を変形して、$\vec{p}$の係数を1にする。

$|3(\vec{p}-\frac{1}{3}\vec{a})|=6$

$3|\vec{p}-\frac{1}{3}\vec{a}|=6$

$|\vec{p}-\frac{1}{3}\vec{a}|=2$

この式は、点P($\vec{p}$)と点($\frac{1}{3}\vec{a}$)との距離が2であることを意味する。

したがって、中心の位置ベクトルは$\frac{1}{3}\vec{a}$で、半径は2である。

3. 最終的な答え

(1) 中心の位置ベクトル: $2\vec{a}$、半径: 1

(2) 中心の位置ベクトル: $\frac{1}{3}\vec{a}$、半径: 2