与えられた3つの不等式が表す領域を図示する問題です。 (1) $(y-x)(x+y-2)>0$ (2) $(y-x^2)(x-y+2) \ge 0$ (3) $(x+2y-4)(x^2+y^2-2x-8) < 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの不等式が表す領域を図示する問題です。

(1) $(y-x)(x+y-2)>0$

(2) $(y-x^2)(x-y+2) \ge 0$

(3) $(x+2y-4)(x^2+y^2-2x-8) < 0$

2. 解き方の手順

各不等式について、以下の手順で領域を図示します。

(1) $(y-x)(x+y-2)>0$

まず、$y-x=0$ と $x+y-2=0$、つまり $y=x$ と $y=-x+2$ をグラフに描きます。

次に、$y-x$ と $x+y-2$ の符号の組み合わせを考えます。

- $y-x>0$ かつ $x+y-2>0$ のとき、$y>x$ かつ $y>-x+2$。これは $y=x$ の上側かつ $y=-x+2$ の上側の領域を表します。

- $y-x<0$ かつ $x+y-2<0$ のとき、$y<x$ かつ $y<-x+2$。これは $y=x$ の下側かつ $y=-x+2$ の下側の領域を表します。

$y=x$ と $y=-x+2$ は境界線を含みません。

(2) $(y-x^2)(x-y+2) \ge 0$

まず、$y-x^2=0$ と $x-y+2=0$、つまり $y=x^2$ と $y=x+2$ をグラフに描きます。

次に、$y-x^2$ と $x-y+2$ の符号の組み合わせを考えます。

- $y-x^2 \ge 0$ かつ $x-y+2 \ge 0$ のとき、$y \ge x^2$ かつ $y \le x+2$。これは $y=x^2$ の上側かつ $y=x+2$ の下側の領域を表します。

- $y-x^2 \le 0$ かつ $x-y+2 \le 0$ のとき、$y \le x^2$ かつ $y \ge x+2$。これは $y=x^2$ の下側かつ $y=x+2$ の上側の領域を表します。

$y=x^2$ と $y=x+2$ は境界線を含みます。

(3) $(x+2y-4)(x^2+y^2-2x-8) < 0$

まず、$x+2y-4=0$ と $x^2+y^2-2x-8=0$ をグラフに描きます。

$x+2y-4=0$ は $y=-\frac{1}{2}x+2$ という直線を表します。

$x^2+y^2-2x-8=0$ は $(x-1)^2+y^2=9$ と変形でき、中心 $(1,0)$、半径3の円を表します。

次に、$x+2y-4$ と $x^2+y^2-2x-8$ の符号の組み合わせを考えます。

- $x+2y-4>0$ かつ $x^2+y^2-2x-8<0$ のとき、$y>-\frac{1}{2}x+2$ かつ $(x-1)^2+y^2<9$。これは $y=-\frac{1}{2}x+2$ の上側かつ、中心 $(1,0)$、半径3の円の内部の領域を表します。

- $x+2y-4<0$ かつ $x^2+y^2-2x-8>0$ のとき、$y<-\frac{1}{2}x+2$ かつ $(x-1)^2+y^2>9$。これは $y=-\frac{1}{2}x+2$ の下側かつ、中心 $(1,0)$、半径3の円の外部の領域を表します。

$y=-\frac{1}{2}x+2$ と $(x-1)^2+y^2=9$ は境界線を含みません。

3. 最終的な答え

(1) $y>x$ かつ $y>-x+2$ または $y<x$ かつ $y<-x+2$ の領域。境界線は含まない。

(2) $y \ge x^2$ かつ $y \le x+2$ または $y \le x^2$ かつ $y \ge x+2$ の領域。境界線を含む。

(3) $y>-\frac{1}{2}x+2$ かつ $(x-1)^2+y^2<9$ または $y<-\frac{1}{2}x+2$ かつ $(x-1)^2+y^2>9$ の領域。境界線は含まない。