与えられた放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$（ただし $0 < a < \frac{1}{2}$）を①とし、円 $x^2 + y^2 = 16$ を②とする。 (1) 放物線①が $a$ の値にかかわらず通る定点を求める。 (2) 放物線①と円②の交点の $y$ 座標を求める。 (3) $a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線①と円②で囲まれる部分のうち、放物線の上側にある部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$（ただし $0 < a < \frac{1}{2}$）を①とし、円 $x^2 + y^2 = 16$ を②とする。

(1) 放物線①が $a$ の値にかかわらず通る定点を求める。

(2) 放物線①と円②の交点の $y$ 座標を求める。

(3) $a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線①と円②で囲まれる部分のうち、放物線の上側にある部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線①の式を $a$ について整理すると、

$y = a(x^2 - 12) + 2$

$a$ の値にかかわらずこの式が成り立つためには、

$x^2 - 12 = 0$ かつ $y = 2$ であればよい。

$x^2 = 12$ より $x = \pm 2\sqrt{3}$

したがって、定点は $(2\sqrt{3}, 2)$ と $(-2\sqrt{3}, 2)$ である。

(2)

放物線①と円②の交点の $y$ 座標を求めるために、①の式を②に代入する。

$x^2 + (ax^2 - 12a + 2)^2 = 16$

$x^2 = 12 - \frac{y-2}{a}$ を円の式に代入すると

$12 - \frac{y-2}{a} + y^2 = 16$

$y^2 - \frac{y}{a} + \frac{2}{a} - 4 = 0$

$ay^2 - y + 2 - 4a = 0$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a(2-4a)}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1-8a+16a^2}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(4a-1)^2}}{2a} = \frac{1 \pm (1-4a)}{2a}$

$y = \frac{1 + (1-4a)}{2a} = \frac{2-4a}{2a} = \frac{1-2a}{a}$

または

$y = \frac{1 - (1-4a)}{2a} = \frac{4a}{2a} = 2$

$y = 2$ を $x^2 + y^2 = 16$ に代入すると、$x^2 + 4 = 16$ より、$x^2 = 12$ となり、$x = \pm 2\sqrt{3}$

$y = \frac{1-2a}{a}$ を $x^2 + y^2 = 16$ に代入すると、$x^2 = 16 - (\frac{1-2a}{a})^2$。

(3)

$a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線は $y = \frac{1}{4}x^2 - 3 + 2 = \frac{1}{4}x^2 - 1$ である。

放物線と円の交点の $y$ 座標は、(2) より、$y = \frac{1-2(\frac{1}{4})}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$ と $y = 2$ である。

$y = 2$ より $x = \pm 2\sqrt{3}$ であり、$y = \frac{1}{4}x^2 - 1$ より $x^2 = 4(y+1)$ となり、$x = \pm 2\sqrt{y+1}$ である。

放物線と円で囲まれた部分のうち、放物線の上側にある部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (\sqrt{16-x^2} - (\frac{1}{4}x^2 - 1)) dx$

$= 2\int_{0}^{2\sqrt{3}} (\sqrt{16-x^2} - (\frac{1}{4}x^2 - 1)) dx$

$x = 4\sin\theta$ とおくと、$dx = 4\cos\theta d\theta$ であり、$x=0$ のとき $\theta = 0$ で、$x = 2\sqrt{3}$ のとき $\sin\theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

$S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{16-16\sin^2\theta} - (\frac{1}{4}(16\sin^2\theta) - 1)) 4\cos\theta d\theta$

$= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (4\cos\theta - (4\sin^2\theta - 1)) 4\cos\theta d\theta = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (4\cos^2\theta - 4\sin^2\theta\cos\theta + \cos\theta) d\theta$

$= 8\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (4\frac{1+\cos2\theta}{2} - 4\sin^2\theta\cos\theta + \cos\theta) d\theta$

$= 8\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2 + 2\cos2\theta - 4\sin^2\theta\cos\theta + \cos\theta) d\theta$

$= 8[2\theta + \sin2\theta - \frac{4}{3}\sin^3\theta + \sin\theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= 8[2(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) - \frac{4}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 + \sin(\frac{\pi}{3}) - 0]$

$= 8[\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{3}\frac{3\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2}]$

$= 8[\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(2\sqrt{3}, 2)$, $(-2\sqrt{3}, 2)$

(2) $y=2$

(3) $S = \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3}$