与えられた3つの方程式がそれぞれどのような図形を表すかを判定し、その概形を記述する問題です。 (1) $y^2 - 2x - 4y = 0$ (2) $x^2 + 4y^2 = 16y$ (3) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式がそれぞれどのような図形を表すかを判定し、その概形を記述する問題です。

(1) $y^2 - 2x - 4y = 0$

(2) $x^2 + 4y^2 = 16y$

(3) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y^2 - 2x - 4y = 0$

平方完成を行います。

$y^2 - 4y = 2x$

$y^2 - 4y + 4 = 2x + 4$

$(y - 2)^2 = 2(x + 2)$

これは、頂点が $(-2, 2)$ で、焦点が $(-\frac{3}{2}, 2)$ の放物線です。

(2) $x^2 + 4y^2 = 16y$

平方完成を行います。

$x^2 + 4(y^2 - 4y) = 0$

$x^2 + 4(y^2 - 4y + 4) = 16$

$x^2 + 4(y - 2)^2 = 16$

$\frac{x^2}{16} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1$

これは、中心が $(0, 2)$ で、長軸の長さが $2 \times 4 = 8$、短軸の長さが $2 \times 2 = 4$ の楕円です。

(3) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$

平方完成を行います。

$4(x^2 - 2x) - (y^2 - 4y) + 16 = 0$

$4(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 4y + 4) = -16 + 4 - 4$

$4(x - 1)^2 - (y - 2)^2 = -16$

$(y - 2)^2 - 4(x - 1)^2 = 16$

$\frac{(y - 2)^2}{16} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1$

これは、中心が $(1, 2)$ で、$y$軸方向に開いた双曲線です。

3. 最終的な答え

(1) 放物線: 頂点 $(-2, 2)$、焦点 $(-\frac{3}{2}, 2)$

(2) 楕円: 中心 $(0, 2)$、長軸の長さ8、短軸の長さ4

(3) 双曲線: 中心 $(1, 2)$、y軸方向に開く