点P(-3, 1)と直線 $2x + y + 1 = 0$ に関して対称な点Qの座標を求める。

1. 問題の内容

点P(-3, 1)と直線 $2x + y + 1 = 0$ に関して対称な点Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Qの座標を(a, b)とする。

ステップ1: 線分PQの中点が直線l上にある。

線分PQの中点Mの座標は$(\frac{a-3}{2}, \frac{b+1}{2})$である。

この点が直線 $2x + y + 1 = 0$ 上にあるので、

$$2(\frac{a-3}{2}) + (\frac{b+1}{2}) + 1 = 0$$

$$2(a-3) + (b+1) + 2 = 0$$

$$2a - 6 + b + 1 + 2 = 0$$

$$2a + b - 3 = 0$$

$$2a + b = 3 \qquad (1)$$

ステップ2: 線分PQが直線lと垂直に交わる。

直線lの傾きは-2である。

線分PQの傾きは$\frac{b-1}{a+3}$である。

線分PQと直線lが垂直なので、

$$\frac{b-1}{a+3} \times (-2) = -1$$

$$\frac{b-1}{a+3} = \frac{1}{2}$$

$$2(b-1) = a+3$$

$$2b - 2 = a + 3$$

$$a - 2b = -5 \qquad (2)$$

ステップ3: 連立方程式を解く。

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $b = 3 - 2a$

(2)に代入すると、

$$a - 2(3 - 2a) = -5$$

$$a - 6 + 4a = -5$$

$$5a = 1$$

$$a = \frac{1}{5}$$

(1)に代入すると、

$$b = 3 - 2(\frac{1}{5})$$

$$b = 3 - \frac{2}{5}$$

$$b = \frac{15 - 2}{5}$$

$$b = \frac{13}{5}$$

よって点Qの座標は$(\frac{1}{5}, \frac{13}{5})$である。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{5}, \frac{13}{5})$