与えられた2次曲線について、指定された点を通る接線の方程式を求める問題です。 (1) 2次曲線 $y^2 = x$ に対して、点 $(-1, 1)$ を通る接線を求める。 (2) 2次曲線 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ に対して、点 $(2, -3)$ を通る接線を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次曲線について、指定された点を通る接線の方程式を求める問題です。

(1) 2次曲線 $y^2 = x$ に対して、点 $(-1, 1)$ を通る接線を求める。

(2) 2次曲線 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ に対して、点 $(2, -3)$ を通る接線を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y^2 = x$, $(-1, 1)$の場合

* 接点を $(X, Y)$ とすると、接線の方程式は$Yy = \frac{x+X}{2}$となる。（$y^2 = x$ の接線の公式を使用）

* この接線は点 $(-1, 1)$ を通るので、$Y = \frac{-1+X}{2}$ が成り立つ。

* 接点 $(X, Y)$ は曲線 $y^2 = x$ 上にあるので、$Y^2 = X$ が成り立つ。

* $Y = \frac{-1+X}{2}$ を $Y^2 = X$ に代入して、$(\frac{-1+X}{2})^2 = X$。整理すると、$\frac{1 - 2X + X^2}{4} = X$。

* $1 - 2X + X^2 = 4X$ より、$X^2 - 6X + 1 = 0$。この2次方程式を解くと、$X = 3 \pm 2\sqrt{2}$。

* $Y^2 = X$ より、$Y = \pm\sqrt{X}$。 $Y = \frac{-1+X}{2}$ に代入する。

* $X = 3 + 2\sqrt{2}$ のとき、$Y = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}$。接線は $(1 + \sqrt{2})y = \frac{x + 3 + 2\sqrt{2}}{2}$ となり、$2(1+\sqrt{2})y = x + 3 + 2\sqrt{2}$

* $X = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$Y = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$。接線は $(1 - \sqrt{2})y = \frac{x + 3 - 2\sqrt{2}}{2}$ となり、$2(1-\sqrt{2})y = x + 3 - 2\sqrt{2}$

* ただし、与えられた点(-1,1)は$y^2=x$の外側にあるため、接線は存在しない。

点(-1,1)を通る直線を$y-1=m(x+1)$とする。

$y=m(x+1)+1$を$y^2=x$に代入すると、$(m(x+1)+1)^2 = x$

$m^2(x+1)^2 + 2m(x+1)+1=x$

$m^2(x^2+2x+1) + 2mx + 2m + 1 = x$

$m^2 x^2 + 2m^2 x + m^2 + 2mx + 2m + 1 = x$

$m^2 x^2 + (2m^2 + 2m - 1)x + m^2 + 2m + 1 = 0$

判別式D = 0より、$(2m^2 + 2m - 1)^2 - 4m^2(m^2 + 2m + 1) = 0$

$4m^4 + 4m^2 + 1 + 8m^3 - 4m^2 - 4m = 0$

$4m^4 + 8m^3 - 4m + 1=0$

この方程式を解くのは難しい。

(2) $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$, $(2, -3)$の場合

* 接点を $(X, Y)$ とすると、接線の方程式は $\frac{Xx}{4} - Yy = 1$ となる。（$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の接線の公式を使用）

* この接線は点 $(2, -3)$ を通るので、$\frac{2X}{4} + 3Y = 1$ が成り立つ。つまり、$\frac{X}{2} + 3Y = 1$。

* 接点 $(X, Y)$ は曲線 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ 上にあるので、$\frac{X^2}{4} - Y^2 = 1$ が成り立つ。

* $\frac{X}{2} = 1 - 3Y$ より、$X = 2 - 6Y$。

* $\frac{(2 - 6Y)^2}{4} - Y^2 = 1$。整理すると、$\frac{4 - 24Y + 36Y^2}{4} - Y^2 = 1$。

* $1 - 6Y + 9Y^2 - Y^2 = 1$。$8Y^2 - 6Y = 0$。$2Y(4Y - 3) = 0$。

* $Y = 0$ または $Y = \frac{3}{4}$。

* $Y = 0$ のとき、$X = 2$。接線は $\frac{2x}{4} - 0 \cdot y = 1$ より、$\frac{x}{2} = 1$。つまり、$x = 2$。

* $Y = \frac{3}{4}$ のとき、$X = 2 - 6 \cdot \frac{3}{4} = 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}$。接線は $\frac{-\frac{5}{2}x}{4} - \frac{3}{4}y = 1$ より、$-\frac{5}{8}x - \frac{3}{4}y = 1$。つまり、$5x + 6y = -8$。

3. 最終的な答え

(1) $y^2=x$ , (-1,1) : 解なし

(2) $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$, $(2, -3)$ : $x = 2$と $5x + 6y = -8$