問題は以下の通りです。 1. 正四角錐において、平面ABCと平面BCDEのなす角を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 正四角錐において、平面ABCと平面BCDEのなす角を求めよ。

2. 直方体ABCD-EFGHにおいて、

(1) 辺AEとねじれの位置にある辺は全部で何本あるか。

(2) 直線AFと直線CHのなす角を求めよ。

(3) 平面ADGと平面EFGのなす角を求めよ。

2. 解き方の手順

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1. 平面ABCと平面BCDEのなす角**

平面ABCと平面BCDEの交線はBCです。

EからBCに垂線を下ろし、交点をMとすると、EMは正方形BCDEの高さの半分です。

AからBCに垂線を下ろし、交点をMとすると、AMは三角形ABCの高さです。

したがって、なす角は∠AMEとなります。

三角形ABEにおいて、$AB=\sqrt{5}, BE=2$です。

三平方の定理より、$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4} = 1$。

EM = DE/2 = 2/2 = 1。

三角形AMEにおいて、$AE=1$, $EM=1$、AM=$\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2$。

したがって、三角形AMEは直角三角形($\angle AEM=90^\circ$)となります。

平面ABCと平面BCDEのなす角は$\angle AME$。

$AM=1$, $ME=1$より、$\angle AME = \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 45^\circ$.

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2. 直方体ABCD-EFGH**

(1) 辺AEとねじれの位置にある辺

辺AEと平行でなく、交わらない辺を探します。

CD, BC, FG, CG, DH, GH, BFの7本です。

(2) 直線AFと直線CHのなす角

AFとCHは平行移動して考えることができます。

AFをBGに平行移動すると、BGとCHのなす角は∠BGCとなります。

直方体の各面は長方形なので、BG = CH = $\sqrt{1^2+40^2}$

BC = CG = 1

BGとCHは交わらないので、交わるように平行移動して考えると、例えばADとEFは平行なので、AFとCHのなす角は40度です。

(3) 平面ADGと平面EFGのなす角

平面ADGの法線ベクトルは、$\vec{n_1} = \vec{AD} \times \vec{AG}$

平面EFGの法線ベクトルは、$\vec{n_2} = \vec{EF} \times \vec{EG}$

この問題では、直方体の各辺の長さが具体的に与えられていないので、平面ADGと平面EFGのなす角を求めるのは難しいです。直方体の各辺の長さが分かれば、法線ベクトルを計算して、内積を計算することで角度を求めることができます。

3. 最終的な答え

1. 平面ABCと平面BCDEのなす角: 45°

2. 直方体ABCD-EFGH

(1) 辺AEとねじれの位置にある辺の数: 7本

(2) 直線AFと直線CHのなす角: 40°

(3) 平面ADGと平面EFGのなす角: 辺の長さが不明のため、答えられない