平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AE} = \vec{e}$とする。辺FGを2:1に内分する点をMとし、直線AMと平面BDEとの交点をPとする。このとき、$\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表し、AP:PMを求める。

1. 問題の内容

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AE} = \vec{e}$とする。辺FGを2:1に内分する点をMとし、直線AMと平面BDEとの交点をPとする。このとき、$\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表し、AP:PMを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、点Mの位置ベクトルを求める。$\vec{AM}$は$\vec{AF} + \frac{2}{3}\vec{FG}$で表せる。$\vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF} = \vec{AB} + \vec{AE} = \vec{b} + \vec{e}$であり、$\vec{FG} = \vec{AD} = \vec{d}$である。したがって、

$\vec{AM} = \vec{AF} + \frac{2}{3}\vec{FG} = \vec{b} + \vec{e} + \frac{2}{3}\vec{d} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} + \vec{e}$

次に、点Pが直線AM上にあることから、ある実数$k$を用いて$\vec{AP} = k\vec{AM}$と表せる。

$\vec{AP} = k(\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d} + \vec{e})$

点Pが平面BDE上にあることから、$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AD} + u\vec{AE}$とおける。ここで、$s+t+u=1$という条件を満たす必要がある。

$\vec{AP} = s\vec{b} + t\vec{d} + u\vec{e}$

二つの$\vec{AP}$の式を比較して、

$k\vec{b} + \frac{2}{3}k\vec{d} + k\vec{e} = s\vec{b} + t\vec{d} + u\vec{e}$

$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$は一次独立なので、各係数を比較すると、

$s = k, t = \frac{2}{3}k, u = k$

条件$s+t+u=1$より、$k + \frac{2}{3}k + k = 1$なので、$\frac{8}{3}k = 1$となり、$k = \frac{3}{8}$

したがって、

$\vec{AP} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} \vec{d} + \frac{3}{8}\vec{e}$

$\vec{AP} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{d} + \frac{3}{8}\vec{e}$

(2) $\vec{AP} = k\vec{AM}$より$\vec{AP} = \frac{3}{8}\vec{AM}$なので、$AP:AM = 3:8$となる。$AM = AP + PM$なので、$AP:PM = 3:(8-3) = 3:5$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{d} + \frac{3}{8}\vec{e}$

(2) AP:PM = 3:5