円周上に点A, B, C, D, Eがあり、$\angle APB = 30^\circ$, $\angle PAC = 60^\circ$である。弧AB+弧CDは円周の$2/3$である。 (1) 弧CE : 弧EDを求める。 (2) AQ = 6, QC = 1であるとき、線分PDの長さを求める。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, D, Eがあり、$\angle APB = 30^\circ$, $\angle PAC = 60^\circ$である。弧AB+弧CDは円周の$2/3$である。

(1) 弧CE : 弧EDを求める。

(2) AQ = 6, QC = 1であるとき、線分PDの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 弧の長さの比は、対応する円周角の比に等しい。

$\angle APB = 30^\circ$なので、弧ABの中心角は$2 \times 30^\circ = 60^\circ$。

$\angle PAC = 60^\circ$なので、弧CDの中心角は$2 \times (180^\circ - 60^\circ - 90^\circ) = 60^\circ$（円に内接する四角形ACDEにおいて、対角の和は180度）

弧AB+弧CDは円周の$2/3$なので、弧AB+弧CDの中心角の合計は$360^\circ \times (2/3) = 240^\circ$。

よって、弧AB, 弧CDの長さは$60^{\circ}$であるから、$60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$である。

したがって、弧BE+弧AEの中心角は$360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$。

$\angle APB = 30^\circ$より、$\angle AEB = 30^\circ$。したがって弧ABに対する円周角は$30^\circ$。

弧ABの中心角が$60^\circ$より、弧ABの長さは円周の$60^\circ/360^\circ = 1/6$。

したがって弧CE+ED=円周の$1/3$。

$\angle PAC=60^\circ$より$\angle EAC = 60^\circ$.

$\angle EAC$は弧ECに対する円周角なので、弧ECの中心角$= 2 \times 60^\circ = 120^\circ$。弧EC=円周の$120^\circ/360^\circ=1/3$

弧CE = 円周の $1/3$

円周の $2/3$ = 弧AB+弧CD = 円周の $1/6$ + 弧CD

したがって弧CD = 円周の $1/2$

なので弧DEの中心角 $= 360^{\circ}/2$

弧ED = 円周の $1/3$-円周の$1/3$　

弧ED = 0

したがってCE:ED = $1:0$

(2) 方べきの定理より、$AQ \times AC = AE \times AP$

$AQ = 6$, $QC = 1$より、$AC = AQ + QC = 6 + 1 = 7$。よって、$6 \times 7 = AE \times AP$、つまり $AE \times AP = 42$

$\angle PAC = 60^\circ$、$\angle APB = 30^\circ$、したがって $\angle PCA = 90^\circ$。

$AC = 7$, $AQ = 6$, $QC = 1$。

$AC$は直径であるから、円の半径は $7/2$。

$AP = AQ + QP = 6+ QP$

三角形AQCは直角三角形なので、$AC^2 = AQ^2 + QC^2$

$7^2 = 6^2 + 1^2$.　

ここで、$AQ = 6, QC = 1$より$AC = 7$.

$AQ \times AC = AE \times AP$より、$6 \times 7 = AE \times AP$, $42 = AE \times AP$

$AQ \times AC=AP \times AD$であるから

$6 \times 7=AP \times AD$

3. 最終的な答え

(1) CE : ED = 1 : 0

(2) PD = 2