四面体OABCにおいて、線分OAを2:1に内分する点をP、線分OBを3:1に内分する点をQ、線分BCを4:1に内分する点をRとする。この四面体を3点P, Q, Rを通る平面で切り、この平面が線分ACと交わる点をSとするとき、線分の長さの比AS:SCを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、線分OAを2:1に内分する点をP、線分OBを3:1に内分する点をQ、線分BCを4:1に内分する点をRとする。この四面体を3点P, Q, Rを通る平面で切り、この平面が線分ACと交わる点をSとするとき、線分の長さの比AS:SCを求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。

点P, Q, Rの位置ベクトルはそれぞれ、

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{c}$

点Sは線分AC上にあるので、ある実数$s$を用いて、

$\overrightarrow{OS} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OC} = (1-s)\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c}$

と表せる。

また、点Sは平面PQR上にあるので、ある実数$p, q$を用いて、

$\overrightarrow{OS} = (1-p-q)\overrightarrow{OP} + p\overrightarrow{OQ} + q\overrightarrow{OR}$

$= (1-p-q)\frac{2}{3}\overrightarrow{a} + p\frac{3}{4}\overrightarrow{b} + q(\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{c})$

$= \frac{2(1-p-q)}{3}\overrightarrow{a} + (\frac{3}{4}p + \frac{1}{5}q)\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}q\overrightarrow{c}$

と表せる。

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{2(1-p-q)}{3}$

$0 = \frac{3}{4}p + \frac{1}{5}q$

$s = \frac{4}{5}q$

第2式より、$q = -\frac{15}{4}p$

これを第3式に代入して、$s = \frac{4}{5}(-\frac{15}{4}p) = -3p$

これを第1式に代入して、$1-(-3p) = \frac{2(1-p-(-\frac{15}{4}p))}{3}$

$1+3p = \frac{2(1+\frac{11}{4}p)}{3}$

$3(1+3p) = 2(1+\frac{11}{4}p)$

$3+9p = 2+\frac{11}{2}p$

$1 = \frac{11}{2}p - 9p = -\frac{7}{2}p$

$p = -\frac{2}{7}$

$s = -3p = -3(-\frac{2}{7}) = \frac{6}{7}$

$\overrightarrow{OS} = (1-s)\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c} = \frac{1}{7}\overrightarrow{a} + \frac{6}{7}\overrightarrow{c}$

よって、$AS:SC = 6:1$

3. 最終的な答え

AS:SC = 6:1