$\sin(\theta + \alpha)$ の最小値を求め、その時の $y$ の最小値を求める問題です。ただし、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において $\sin x$ は単調増加、$x > \frac{\pi}{2}$ で単調減少であること、$\theta + \alpha$ の範囲が $[\alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha]$ であること、$\alpha$ が第1象限の角であること、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ であること、そして $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha = \frac{3}{5}$ であることが与えられています。また、このときの $y$ の最小値を求めます。ただし、$\theta = 0$ です。

1. 問題の内容

$\sin(\theta + \alpha)$ の最小値を求め、その時の $y$ の最小値を求める問題です。ただし、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において $\sin x$ は単調増加、$x > \frac{\pi}{2}$ で単調減少であること、$\theta + \alpha$ の範囲が $[\alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha]$ であること、$\alpha$ が第1象限の角であること、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ であること、そして $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha = \frac{3}{5}$ であることが与えられています。また、このときの $y$ の最小値を求めます。ただし、$\theta = 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(\theta + \alpha)$ の範囲が $[\alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha]$ であることから、$\sin(\theta + \alpha)$ の最小値は $\sin \alpha$ または $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ のいずれかになります。

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ であり、$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha = \frac{3}{5}$ であることがわかっています。

$\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$ なので、$\sin(\theta + \alpha)$ の最小値は $\frac{3}{5}$ です。

$\theta = 0$ のとき、$y$ の最小値は $5 \cdot \frac{3}{5}$ で計算できます。

$5 \cdot \frac{3}{5} = 3$

3. 最終的な答え

$\sin(\theta + \alpha)$ の最小値は $\frac{3}{5}$ であり、このときの $y$ の最小値は $3$ です。